. . , n, seega ka f (k ) 0. Korrutades viimast v~orratust k-nda osal~oigu pikkusega, saame f (k )xk 0, k = 1, 2, . . . , n. Liites n mittenegatiivset suurust, saame mittenegatiivse suuruse st n f (k )xk 0. k=1 Mittenegatiivse suuruse piirv¨a¨artus on piirprotsessis 0 mittenegatiivne suurus, mis t~oestabki omaduse. J¨ areldus 2. Kui l~oigul [a; b] f (x) g(x), siis b b f (x)dx g(x)dx. a a T~oestus. Eelduse kohaselt g(x) - f (x) 0, seega omadus 3 j¨argi b
Maatriksarvutus T~ oestus. T~oestame n¨aiteks omaduse 2) [(A + B)C]ij = (A + B)i1 c1j + . . . + (A + B)in cnj = (ai1 + bi1 )c1j + . . . + (ain + bin )cnj = ai1 c1j + . . . + ain cnj + bi1 c1j + . . . + bin cnj (AC)ij (BC)ij = (AC)ij + (BC)ij = (AC + BC)ij ¨ a¨anud omadustest 1)-5) t~oes- mis t~oestabki n~outava v~orduse. Ulej¨ tatakse analoogiliselt. Omadus 6) t~oestatakse determinantide teoo- rias. N¨ aide: ruutude vahe valem Lause 8. Maatriksid A ja B olgu u ¨hesuguse j¨ arguga ruutmaatrik- sid. Siis (A + B)(A - B) = A2 - B 2 - [A, B] T~ oestus. T~oepoolest (A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = AA - AB + BA - BB
tekib vastuolu eeldusega lim y = b. Vastuolu tekkis oletusest b < 0, j¨arelikult xa lim y = b 0 xa Teoreem 5.7. Kui punkti a mingis u ¨mbruses y z ja on olemas piirv¨a¨artused lim y ning lim z, siis lim y lim z. xa xa xa xa T~oestus. Kui y z, siis y -z 0 ja teoreemi 5.6 p~ohjal ka lim (y -z) 0. xa Aga siis j¨arelduse 5.4 p~ohjal lim y - lim z 0, mis t~oestabki v¨aite. xa xa 12 J¨argmise teoreemi jaoks vaatleme piirprotsessis x a kolme muutuvat suurust u = u(x), v = v(x) ja w = w(x). Teoreem 5.8. Kui punkti a mingis u ¨mbruses u w v ja v~ordsed piirv¨a¨artused lim u = b ning lim v = b, siis ka lim w = b xa xa xa T~oestus. Kui u w ja w v, siis teoreemi 5.7 p~ohjal lim u lim w ja
Kasutades neid valemeid arvutame: (t) dy dy f (x) = = dt = . dx dx dt (t) See t~oestabki valemi (3.8). 64 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva radiaanides j¨a¨ sirge korral ( 2 , ) (vt joonis 3.1). Sirge s t~
y, tuletise jaoks seose (t) = dy dt . Kasutades neid valemeid arvutame: dy dy dt (t) f (x) = = dx = . dx dt (t) See t~oestabki valemi (3.8). 64 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeru- vuse geomeetriline sisu. Sirge t~ousunurk ja t~ ous. Tasandil xy - teljestikus antud sirge s t~ ousunurgaks nimetatakse selle sirge ja x - telje positiivse suuna vahelist nurka, mille v¨a¨artus radiaanides j¨a¨ab pooll~oigule [0, ). T~ousva sirge korral (0, 2 ) ja langeva
annaabi.ee 
