V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak 2 2 2 k lineaarselt sõltuva mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda null-maatriksiga (nullvektoriga) ka lineaarse kombinatsiooni nullist erinevate kordajate korral, st
Kahe maatriksi korrutamiseks peab esimese maatriksi veergude arv võrduma teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv võrduv teise maatriksi veergude arvuga. Selleks et saada i-nda rea k-ndat elementi tuleb esimese maatriksi i-s reavektor korrutada teise maatriksi k-nda veeruvektoriga skalaarselt. Maatriksite korrutamine ei ole üldjuhul kommutatiivne. Kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib anda nullmaatriksi. Mingi maatriksi korrutamisel ühikmaatriksiga saame korrutiseks esialgse maatriksi. 8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant
1.6 Nullmaatriks Maatriksit, mille k~ oik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaat- riksiks ehk nulliks ja t¨ahistatakse 0 0 ... 0 0 0 . . . 0 0 := . . . .. := (0ij ) .. .. .. . 0 0 ... 0 Paneme t¨ahele, et nullmaatriksi t¨ahistamiseks kasutame arvu 0 (null). Lugeja peab kontekstist m~oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullmaatriksiga. Seda mugavat kahem~ottelist t¨ahistust on t¨ ulikas v¨altida. Sel- guse huvides v~oib nullmaatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt 0k × n on k × n-j¨arku nullmaatriks. Nullmaatriksi j¨arku tavaliselt ei ekponeerita, see selgub kontekstist. N¨aiteks nullmaatriksi liitmis- el mingi teise maatriksiga peavad summa eksisteerimiseks j¨argud
● ruutmaatriks Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. ● ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)- maatriksi A = (aij ) vastandmaatriks, kui bij = −aij . 4 ● transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks
s.t. liitmine ja skalaariga korrutamine on tehted hulgal m× n . Lineaarsed tehted hulgal m× n rahuldavad analoogseid omadusi nagu lineaarsed tehted geomeetriliste vektorite hulgal. Loetleme need omadused. 1° A + B = B + A iga A, B m×n korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( A + B ) + C = A + ( B + C ) iga A, B, C m× n korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline maatriks m× n , et A + = + A = A iga A m× n korral (nullmaatriksi olemasolu); 4° iga maatriksi A m× n jaoks leidub selline maatriks B m× n , et A+ B = B + A = (vastandmaatriksi olemasolu); 5° ( a + b ) A = aA + bA iga a, b ja A m×n korral; 6° a ( A + B ) = aA + aB iga a ja A, B m× n korral; 7° ( ab ) A = a ( bA) iga a, b ja A m×n korral; 8° 1A = A iga A m× n korral. 8. Maatriksite korrutise definitsioon
defineeritakse valemiga a11 +b 11 a12 + b12 ⋯a 1n +b 1 n A + B= ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1+b m 1 a m 2+ bm 2 ⋯amn +b mn ) Liitmise omadused: Maatriksite liitmine on assotsiatiivne st. Mistahes X , Y , Z ∈ Mat ( m , n ) korral ( X +Y ) + Z=X +(Y + Z) Iga X ∈ Mat (m , n) ning nullmaatriksi Θ∈ Mat (m, n) korral X +Θ= X ,Θ+ X=X Iga X ∈ Mat (m , n) ning tema vastandmaatriksi −X ∈ Mat ( m , n ) korral X + (−X ) =Θ, (−X ) + X =Θ Maatriksite liitmine on kommutatiivne. St. Mistahes X , Y ∈ Mat ( m , n ) korral kehtib X +Y =Y + X 45
selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. Liitmine Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X. Iga X Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi -X Mat(m, n) korral kehtivad X + (-X) = , (-X) + X = . Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X,Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Lahutamine - Maatriksite X,Y Mat(m, n) vaheks nimetatakse (m, n)-maatriksit X - Y := X + (-Y ). Korrutamine reaalarvuga - Reaalarvu ja mistahes mõõtmetega maatriksi A korrutiseks
out.println (p2 == p1); //
true
try {
p2 = (Maatriks)p1.clone();
} catch (CloneNotSupportedException e) {};
System.out.println (p2.equals (p1)); //
true
System.out.println (p2 == p1); //
false
p2.set (0, 0, 5);
System.out.println (p2.equals (p1)); //
false
System.out.println (p2 == p1); //
false
} // main
/** maatriksi sisu */
private int[][] massiiv;
/** Nullmaatriksi konstruktor. */
Maatriks (int ridu, int veerge) {
if (ridu<1)
massiiv = null;
else if (veerge<1)
massiiv = null;
else {
// m2lu eraldamine
massiiv = new int [ridu] [veerge];
// massiivi nullimine
for (int i=0; i
A = (1 2 -3 ) , B= 2 -1 1 ei saa aga u¨ldsegi liita, sest liitmise definitsiooni 1.12 valem (1.16) ei lase end rakendada. Maatriksite liitmisel on j¨argmised omadused. 1 Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2 Iga X M at(m, n) ja nullmaatriksi M at(m, n) korral X + = X, + X = X. 3 Iga X M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi -X M at(m, n) korral kehtib X + (-X) = , (-X) + X = . 4 Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t~oestame need omadused, m¨argime, et t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) - (1.15)
A = (1 2 −3 ) , B= 2 −1 1 ei saa aga u¨ldsegi liita, sest liitmise definitsiooni 1.12 valem (1.16) ei lase end rakendada. Maatriksite liitmisel on j¨argmised omadused. 1◦ Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi X, Y, Z ∈ M at(m, n) korral (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral X + θ = X, θ + X = X. 3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral kehtib X + (−X) = θ, (−X) + X = θ. 4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y ∈ M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad
annaabi.ee 
