Tasandi võrrand telglõikudes (kus a ,b ja c on x y z + + =1 lõikekohad vastavate telgedega) a b c Kahe tasandi vastastikused asendid On antud 2 tasandit A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ja A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Nende normaalvektorid on vastavalt n 1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ja n 2 = ( A2 ; B2 ; C 2 ) . 1. Tasandid on risti, kui nende normaalvektorite skalaarkorrutis on 0: n 1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 . 2. Tasandid on paralleelsed, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed ning tasandite võrrandite vabaliikmete jagatis ei ole eelmistega A1 B1 C1 D1 = = võrdne: 2 A B 2 C 2 D2 . 3. Tasandid ühtivad, kui nende normaalvektorite vastavate koordinaatide jagatised on
Tasandi normaalvektoriks nim vektorit mis on risti tasandiga. Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite ristseisu tunnus on A1A2+B1B2+C1C2=0 ja tasandite parallelsuse tunnus on A1/A2=B1/B2=C1/C2 Võrrandid telglõikudes Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks.
Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina. See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand. Tasandi võrrandid Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo) +C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk. Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks. Telglõgud näitavad, kus tasand lõikub koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit, siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes.
sirgel asuva vektori ristseisust lähtudes. Miks see hea on? Kui sirge on antud võrrandiga r 2 x + 3 y = 23 , siis saame võrrandist lugeda normaalvektori n = (2; 3) , mida saaks kasutada sirgete vahelise nurga leidmisel sihivektorite asemel. Normaalvektori kasutamist võibki näidata kas tasandi võrrandi õpetamise juures või eksamieelse kordamise ajal. Normaalvektorite kasutamiseni jõutakse tavaliselt alles ruumigeomeetrias, sest ainekavasse jõuab normaalvektori mõiste koos tasandi võrrandiga. Seega sobib normaalvektor sirgetevahelise nurga leidmiseks eksamieelsel kordamisel. Sirgete võrrandite abil saab kirjeldada ühtlast liikumist, temperatuuri muutusi, ürituse korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata õpikuid ja jälgi meedias toodud graafikuid)
Olukorra parandamiseks pöörame sirgepaari s1 ja s2 ümber nende lõikepunkti A nurga /2 , , , mistõttu Teiseks on sirged ja vastavalt risti tasanditega 1 ja 2, mistõttu nende tasandite normaalvektorid ja on sirgete ja sihivektoriteks. Normaalvektorid saame aga tasandite 1 ja 2 üldvõrranditest: Nendeks on Nüüd valemi (2) abil saame (4) Sama valem normaalvektorite koordinaatide kaudu Märgime, et saadud valem on kasutatav ka paralleelsete tasandite korral. Kui tasandid on normaalvektorid on ka paralleelsed, seega mingi arvu jaoks. Nüüd valemi (4) paralleelsed, siis nende vaheline nurk on 0, mille koosinus on 1. Teiselt poolt nende | · | | · | ||| · | järgi cos ,
PEATÜKK 14. SIRGE JA TASAND RUUMIS Definitsioon 14.11 Sirge l üldvõrrandiks ruumis nimetatakse võrrandite süsteemi A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 l : . (14.11) A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2 Sel juhul sirge sihivektor avaldub kahe tasandi normaalvektorite vek- torkorrutisena: s := n1 × n2 = (A1 , B1 , C1 ) × (A2 , B2 , C2 ). (14.12) 14.5 Punkti kaugus sirgeni Teeme selle läbi ruumis E3 . Tasandil on skeem analoogiline. Anname va- lemi tuletamiseks kaks skeemi. Definitsioon 14.12 Punkti P kauguseks sirgeni s nimetame sellest punktist sirgeni tõm- matud ristlõigu pikkust ja tähistame seda d(P, s) abil. Olgu ruumis antud punkt P ja sirge s sihivektor u. Võtame sirgel suvalise
annaabi.ee 
