DEF: Diferentseeruva funktsiooni gradiendiks nimetatakse n- mõõtmelist vektorit, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised grad f =(f x , f y , f z) , ∇ f =grad f OMADUSED: Funktsiooni tuletis on maksimaalne gradiendi suunas ja võrdub gradiendi pikkusega ∥ grad f ∥=√ f 2x +f 2y + f 2z . Gradient on funktisooni nivoopinna normaaliks(risti nivoopinnaga) ja iseloomustab funktsiooni kiirema muutumise sihti. 14.Tuletis suvalise ühikvektori suunas(tähistus, leidmine) f ( x 0 +ah ; y 0 +hb )−f ( x 0 , y 0 ) Du f ( x 0 , y 0 ) =lim Osatuletuis punktis h→ 0 h x0,y0 ühikvektori u=a,b suunas. 15.Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali?
? ? ? x ja s on kollineaarsed ( s x ) ehk x = k s x - x0 y - y0 z - z 0 (11.3) = = x( t 0 ) y ( t0 ) z(t 0 ) Puutuja võrrandid. Parameetrilisel kujul x = x 0 + x( t 0 ) t y = y 0 + y( t 0 ) t (11.3') z = z + z(t ) t 0 0 12. Teoreem gradiendist ja nivoojoonest (nivoopinnast). Kõverpinna puutujatasand ja normaal. Teoreem 12.1. Funktsiooni gradient on risti vaadeldavat punkti läbiva nivoojoonega või nivoopinnaga. Tõestus. 1) Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle nivoojoont f ( x, y ) = c Leiame nivoojoone puutuja võrrandi punktis P( x0 , y 0 ) . y - y 0 = y P ( x - x0 ) Leiame tuletise kui ilmutamata funktsiooni tuletise. Saame f y = - x f y Seega antud puutuja võrrand on f x P y - y0 = - ( x - x0 ) f y P Teisendades saame f ( x - x0 ) + f ( y - y 0 ) = 0
Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z nimetatakse piirväärtust lim x 0 x ja tähistatakse z x , , f x ( x; y ) või z x .
Sellisel juhul puudub näitlikus, kuid me saame määrata täpselt punktide vahelisi kõrguskasve ja interpoleerida teiste vajalike punktide kõrguseid. Kõrguasrvude viisi kasutatakse reljeefi kujutamiseks peamiselt tiheasustusega aladel, kus asub palju maastikusituatsioonielemente ja kontuure. Kõige levinum reljeefi kujutamise viis on horisontaalide viis. Horisontaal on mõtteline joon, mille kõik punktid on ühesugusel kõrgusel. Kujutleme, et maa-ala reljeef on lõigatud kihikaupa nivoopinnaga paralleelsete pindadega, mille kõrgused on ühesugused. Lõike jooned ongi horisontaalid. Horisontaalid Kui nö lõikepinnad on võrdete vahedega 0,5m; 1m jne, siis kaugused väljenduvad kõrguskasvu naaberhorisontaalide vahel. Neid kauguseid nimetatakse horisontaalide lõikepindadeks ehk lõikevaheks. Horisontaalide konstrueerimisel on tarvis arvestada: *Plaani või kaardi mõõtkavaga (mida suurem mk. Seda väiksem lõike vahe);
Sellisel juhul puudub näitlikus, kuid me saame määrata täpselt punktide vahelisi kõrguskasve ja interpoleerida teiste vajalike punktide kõrguseid. Kõrguasrvude viisi kasutatakse reljeefi kujutamiseks peamiselt tiheasustusega aladel, kus asub palju maastikusituatsioonielemente ja kontuure. Kõige levinum reljeefi kujutamise viis on horisontaalide viis. Horisontaal on mõtteline joon, mille kõik punktid on ühesugusel kõrgusel. Kujutleme, et maa-ala reljeef on lõigatud kihikaupa nivoopinnaga paralleelsete pindadega, mille kõrgused on ühesugused. Lõikejooned ongi horisontaalid (joonis 1). 19 61. Projektpunkti plaaniline maha märkimine. Projektpunkti plaanilisel maha märkimisel kasutatakse teodoliidi ja mõõdulindi abi. Leitakse direktsiooninurgad baasjoone suhtes ning arvutatakse külgede pikkused ja kaugused baasjoonest koordinaatide abil. 62
sama; hypsos-kõrgus) ehk horisontaalide viis, mis vastab kõigile reljeefi kujutamise nõuetele. Horisontaal on mõtteline joon, mille kõik punktid on ühesugusel kõrgusel. Projekteerides selle joone rõhttasandile ja vähendades saadud kujutise plaani mõõtkavasse, saame horisontaali kujutise plaanile (projekteerides ellipsoidile, saame siit üle minna kaardi projektsiooni tasandile). Kujutleme, et maa-ala reljeef on lõigatud kihikaupa nivoopinnaga paralleelsete pindadega, mille kõrguste vahe on ühesugune. Lõikejooned ongi horisontaalid. Nii on igas veekogu rahulikus seisus oleva vee piir horisontaaliks maastikul. Veetaseme kõrguse muutumisel muutub ka veepiiri asend ja saadakse uus horisontaal. Täiendavaid leppemärke kasutatakse reljeefi kujundamisel seal, kus horisontaale või kõrgusarve ei ole otstarbekohane kasutada, või ei ole reljeefi tõepärane kujutamine ilma selleta võimalik.
annaabi.ee 
