1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12
N 15.30-17.30) Tasandi määravad: a)3 punkti, mis ei asetse ühel sirgel b)punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti c)2 lõikuvat sirget d)2 paralleelset sirget e)tasapind on määratud ka mis tahes tasapinnalise kujundi kaksvaatega või tasapinna jälgedega Tasandi asend ekraanide suhtes Üldasendiline tasand on kaldu kõikide ekraanide suhtes. Eriasendiline tasand ehk projekteeriv tasand on risti ekraaniga. (Põhiekraani risttasand , esiekraani risttasand , külgekraani risttasand). Nivoopinnad on paralleelsed ühe ekraaniga, st risti kahe ülejäänud ekraaniga. (Horisontaalpind , frontaalpind v, profiilpind). Tasandi jälgsirged Tasandi jälgsirge (jälg) on sirge, mida möödad tasand lõikab ekraani. Jälgsirged lõikuvad paarikaupa telgedel x, y, z punktides X, Y, Z. Neid punkte nim telgpunktideks. Tasandi jälgede tuletamiseks on vaja leida kahe sel tasandil asetseva sirge jälgpunktid ning samanimelised... Punkt ja sirge tasandil
5. Kahe muutuja ilmutamata F F funktsiooni osatuletised (valemid). z x = x y z = F y F z z 6. Nivoopinnad ja nivoojooned nivoopindadeks. Kui funktsioon u on (mõisted). kahe muutuja funktsioon: u = u ( x, y ) , siis Need punktid moodustavad on nivoopindadeks u ( x, y ) = c , mis on mingisuguse pinna. Kui konstant c saab tegelikult xy-tasandi jooned, mida teise väärtuse, siis saame teise pinna
Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu
dFy ( x, y ) := F( x, y ) 1 y <-osatuletis y järgi -dFx( x, y ) tuletis ( x, y ) := dFy ( x, y ) <-tuletis võrdub osatuletis x järgi jagatud osatuletis y järgi tuletis ( x, y ) 2 x · Nivoojooned ja nivoopinnad. Näiteülesanne 2 2 z1( x, y ) := x + y <-funktsioon z1 z1 Näiteülesanne z3( x, y ) := sin x + y (2 2 ) <-funktsioon i := 0 .. 20 j := 0 .. 20 x := -1.5 + 0.15 i i y := -1.5 + 0.15 j j M i, j ( i j) := z3 x , y · Tuletis antud suunas
Näiteks ring raadiusega 3 2. Nivoopinna mõiste( definitsioon, näited ja omadused) DEF: Määramispiirkonna nende punktide (x,y) hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on konstantne, nimetatakse selle funktsiooni nivoopinnaks võrrandiga f(x,y)=k, kus k on konstant OMADUSED: Määramispiirkonna iga punkti läbib üks nivoopind(näiteks isoterm, isobaar) Nivoopinnad ei lõiku NÄITED: Topograafilised kaardid Õhuruumi jooned Maa magnetvälja tugevused Temperatuuri jooned Elliptilised paraboloidid 3. Kolme muutuja funktsioon(definitsioon, näited, graafiku definitsioon) DEF: Kolme muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvukolmikule (x,y,z) ∈ D vastavusse ühese reaalarvu w=f(x,y,z)
u ? max = grad u kui s on samasuunaline grad u -ga = 0 cos = 1 . Teiste s sõnadega funktsiooni kasvamiskiirus on suurim gradiendi suunas. 2) Tuletis suunas, mis gradiendiga risti on null. s grad u = , cos = 0 . 2 11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile.
4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste. u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P) kus 1, 2, . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul määravad funktsioonid F ja 1, 2, . . . , n liitfunktsiooni z = (P) valemiga (P) = F [1 (P), 2 (P), . . . , n (P)]. 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. · Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme määramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme
4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste. u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P) kus 1, 2, . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul määravad funktsioonid F ja 1, 2, . . . , n liitfunktsiooni z = (P) valemiga (P) = F [1 (P), 2 (P), . . . , n (P)]. 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. · Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme määramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme
Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn Def: nivoopinnad on MP-a niisuguste punktide hulk, kus funktsiooni väärtus on konstantne. f(P)=const. Lause1. nivoojoonad ei lõiku, aga iga punkti läbib kindlasti nivoopind. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Def: PKA lim K x Kii = i ; P(xki), A(ai), i=1,...,n Def: arv on funktsiooni f(P) piirväärtuseks protsessis, kus PKA, sel korral kui vastavalt igale epsiloni väärtusele leidub delta epsilon, et funktsiooni |f(P) | on väiksem kui delta epsilon,
muutujast P = (x1 , x2 , . . . , xm ). See t¨ahendab, et u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P ), kus 1 , 2 , . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul m¨a¨ aravad funkt- = sioonid F ja 1 , 2 , . . . , n liitfunktsiooni z f (P ) valemiga f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨
annaabi.ee 
