-1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 b =-MMULT(G41:I46;L41:L43) b2 20 0 b3 22 20 b4 50 0 22 50 0 Tundmatud vood v=A-1*b =MMULT(O31:T36;N41:N46) 0 1 b1 42 -1 0 v1 -8 -1 0 v2 -28 -1 0 v3 -28 1 1 v4 50 1 0 v5 50 b1=20,b2=3,b3=2,v2=6
Leida, mitu A tüüpi ja mitu B tüüpi lauda on võimalik nädalas toota, kui töönädala pikkus kõigil töölis töönädala pikkus 40 x y b 4 1 200 MINVERSE 3 2 240 mmult 0.4 -0.2 32 X -0.6 0.8 72 Y Vastus: 32 A tüüpi lauda ja 72 B tüüpi lauda lõpetatakse shift+ctrl+enter protsess koosneb monteerimisest ja viimistlemisest. üüpi laua monteerimine kestab 1 tund ja viimistlemine 2 tundi. Monteerimisega tegeleb 5 töölist ja viimistlemisega 6 töölist. i töönädala pikkus kõigil töölistel on 40 tundi.
tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3 2 -1 Tabel 2. Maatriks L 10.5 5.5 10 Neid kahte maatriksit alusena võttes ning kasutades valemit X= (A TA)-1ATL leiame muutujate X ja Y tõenäolisemad väärtused. Maatriksite korrutamisel tuleb järgida valemis ette nähtud järjekorda. Excel’is maatriksite korrutamiseks kasutame MMULT funktsiooni, mille tarbeks tuleb esmalt ära märkida tulemusmaatriksi suurus. See kujuneb algmaatriksite kaudu- ridade arv on võrdne esimese maatriksi ridade arvuga ning veergude arv teise maatriksi veergude arvuga. Tulemuseks saame maatriksi X (Tabel 3) otsitavate muutujatega X ja Y. Tabel 3. Maatriks X muutujate X ja Y väärtustega 6.1 2.2 2) Leidke hälbed vi ehk parandid mõõtmistulemustele, et mõõtmistulemused rahuldaksid geomeetrilisi tingimusi.
read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks ( A WA ) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses. Maatriksite korrutamiseks kasutame Excel’I funktsiooni MMULT, kus tuleb sisendina ära näidata kahe maatriksi ulatus ning käsklus lõpetada ctrl+shift+enter klahvikombinatsiooniga. Samuti tuleb arvestada, et tulemusmaatriksi suurus tuleneb esialgsetest maatriksitest. Uue maatriksi ridade arv ühtib esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv teise maatriksi omaga. Maatriksit X vaadates näeme, et x= 2,21 ja y= 0,48. Tabel 4. Maatriks X 2.21 0.48 2) Järgnevalt tuleb leida mõõtmistulemustele parandid vi, et mõõtmistulemused
.. + aim * bmj)ln (i rida * j veerg) 0 1 2 1-ne rida korrutada B 1-se veerguga 6 -1 A= 3 4 5 B= 7 9 8 -2 EXCEL: math MMULT (korrutamise 0*6+1*7+2*8 0*(-1)+1*9+2*(-2) 23 5 funktsioon) A*B= 3*6+4*7+5*8 3*(-1)+4*9+5*(-2) = 86 23 (CTRL + Shift + Enter) Sisestada A ja B
ABS(a) Tekstifunktsioonid ACOS(a) Ajafunktsioonid ASIN(a) Loogikafunktsioonid ATAN(a) COS(a) DEGREES(a) EXP(a) FACT(a) INT(a) LN(a) LOG(a [; alus ]) LOG10(a) MDETERM(p) MINVERSE(p) MMULT(p1;lp2) MOD(a;b) MROUND(a;täpsus) PI() POWER(a;b) RADIANS(a) RAND() ROUND(a;n) SIGN(a) SIN(a) SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid
FACT(a) Faktorial: a!. 0<= a <= 170 INT(a) Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a LN(a) Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 LOG(a [; alus ]) Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 LOG10(a) Logaritm alusega 10. a>0 MDETERM(p) Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant MINVERSE(p) Lahtriplokis asuva maatriksi pöördmaatriks. MMULT(p1;lp2) Lahhtriplokkides lp1 ja lp2 asuvate maatriksite korrutis MOD(a;b) Jagatise a/b jääk MROUND(a;täpsus) Ümardab arvu etteantud täpsusega PI() Pii = 3,141592654 RADIANS(a) Teisendab graadid radiaanideks RAND() Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 ROUND(a;n) Ümardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani
9) A ( B C ) = ( A B ) C ; 10) A ( B + C ) = A B + A C ; 11) ( A + B ) C = A C + B C ; 12) ( A B ) = ( A) B, R; 13) AB BA; 14) ( A + B ) = AT + B T ; T 15) ( A B ) = B T AT ; T 16) ( AT ) T = A; 17) ( A) = AT T 1.5. Maatriksite korrutamine MS Excelis Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on maatriksite korrutamist võimaldav funktsioon MMULT. Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriksid (trükitakse tabelitena) . Kuna maatriksite korrutamise tulemusena on maatriks, siis tuleb arvutada maatriksi suurust ja märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama palju ridu ja veerge kui tulemusmaatriks. Seejarel tuleb funktsioonide ikoonist fx valida MMULT. Funktsiooni käivitamisel tuleb dialoogikasti sisestada lähtanmed (ühele reale esimese
7) ( + ) A = A + A, , R; 16) ( AT ) T = A; 8) ( A) = ( ) A, , R; 17) ( A) = AT T 1.5. Maatriksite korrutamine MS Excelis Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on maatriksite korrutamist võimaldav funktsioon MMULT. Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriksid (trükitakse tabelitena) . Kuna maatriksite korrutamise tulemusena on maatriks, siis tuleb arvutada maatriksi suurust ja märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama palju ridu ja veerge kui tulemusmaatriks. Seejarel tuleb funktsioonide ikoonist fx valida MMULT. Funktsiooni käivitamisel tuleb dialoogikasti sisestada lähtanmed (ühele reale esimese
8 28 Maatriksi pöördmaatriksi leiab funktsioon MINVERSE NB! Tegemist on massiivifunktsiooniga nagu ka funkts analoogne Maatrikseid saab liita ja lahutada kahel erineval moel. Esime vastavad elemendid. Teise kohaselt tuleb märgistada tulemu vajutada Shift+Ctrl+Enter. Maatriksite korrutamiseks kasutatakse funktsiooni MMULT NB! Korrutada saab maatrikseid, kus esimese maatrik maatriksi ridade arv Korrutamisfunktsioon on massiivifunktsioon Tulemusmaatriksis on ridade arv sama kui esimeses m maatriksis 1. Leia G3 lahtrisse maatriks A determinant. 2. Loo lahtritesse I2-K4 maatriksi A pöördmaatriks. 3. Liida lahtrisse B12 maatriksite 1 ja 2 ülemine vasakpoolne väärtus ja kiirkopeeri valemit
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 64 3 1 8 0 5 27 2 26 D' @ ' 2 4 3 2 11 28 8 54 Programmis MS Excel leiab maatriksite korrutise funktsioon MMULT (terminist matrix multiplication). Olgu meil näiteks kaks ruutmaatriksit 4 1 1 2 A' B' . 3 5 9 6 Leiame nende korrutised AB ja BA: 13 14 10 11
NB! Suudab leida ainult võrdsete ridade ja veergudega maatriksi determinandi Maatriksi pöördmaatriksi leiab funktsioon MINVERSE NB! Tegemist on massiivifunktsiooniga nagu ka funktsioon FREQUENCY, st sisestam analoogne Maatrikseid saab liita ja lahutada kahel erineval moel. Esimese kohaselt tuleb liita või lahutad vastavad elemendid. Teise kohaselt tuleb märgistada tulemuslahtrid, liita või lahutada lahtrite vajutada Shift+Ctrl+Enter. Maatriksite korrutamiseks kasutatakse funktsiooni MMULT NB! Korrutada saab maatrikseid, kus esimese maatriksi veergude arv on sama kui ridade arv Korrutamisfunktsioon on massiivifunktsioon Tulemusmaatriksis on ridade arv sama kui esimeses maatriksis ja veergude arv sam maatriksis Maatriksi A pöördmaatriks -0.225131 -0.005236 0.17801 Determinan 191 -0.005236 -0.209424 0.120419
annaabi.ee 
