Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui
en . Kasutades vektorruumi aksioome Baas vektorruumis G2 Tasandi geomeetriliste vektorite vektorruum G2 on kahemõõtmeline vektorruum, mille baasiks on mittekollineaarsed vektorid e1 , ⃗ ⃗ e1 . n Baas vektorruumis R LAUSE: Aritmeetilises vektorruumis moodustavad baasi vektorid: e 1=(1, 0, 0, … ,0) , ⃗
Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Öeldakse, et vektorid a1 , a2 ,..., a m V (m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m -1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m =1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid a1 , a2 ,..., am lineaarselt sõltuvateks. Vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk
Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1. Vektorite 1 , 2 , ... , m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit kujul c11 + c2 2 + ... + cm m , kus c1 , c2 , ... , cm . Seega on vektorite 1 , 2 , ... , m lineaarne kombinatsioon vektor, mis on saadud nendest vektoritest lineaarsete tehete abil. Näide 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Def. 2. Öeldakse, et vektorid1 , 2 , ... , m V ( m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m - 1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m = 1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid 1 , 2 , ... , m lineaarselt sõltuvateks. Def. 4
NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor- meeritud baasi tasandil tähistatakse { i, j }, kus i = (1, 0), j = (0, 1). 3. Ruumivektorid moodustavad 3-mõõtmelise vektorruumi, sest nende hulgas moodustavad baasi kolm nullist erinevat mittekomplanaarset
NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor- meeritud baasi tasandil tähistatakse { i, j }, kus i = (1, 0), j = (0, 1). 3. Ruumivektorid moodustavad 3-mõõtmelise vektorruumi, sest nende hulgas moodustavad baasi kolm nullist erinevat mittekomplanaarset
r r Kui vektorit v korrutada reaalarvuga, siis saame vektorid, mis kõik kuuluvad vektoriga v ühte sihti. r Siht on vektorite hulk R v , kus R on reaalarv. Ühte sihti kuuluvaid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks r r vektoriteks (e. samasihilisteks). r r a Pb - kollineaarsed vektorid. a Pb - mittekollineaarsed vektorid. Sihid saavad olla kas samasuunalised ( ) või erisuunalised ( ). r r Olgu antud kaks vektorit koordinaatidega a (a1;a2) ja b (b1;b2). Kollineaarsuse tunnus: Kaks vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, st. ur r a1 a2 a Pb =
a b c 0 abil. d e f Kolme punktiga määratud tasandi võrrand On antud punktid P1(x1; y1; z1), P2(x2; y2; z2) ja P3(x3; y3; z3). Nende punktidega määratud tasandi võrrand on x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 . x3 x1 y3 y1 z3 z1 Selle alajuhtumi võib asendada eelmisega, kuna vektorid P1P2 ja P1P3 on mittekollineaarsed. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 26 MEETRILISED SEOSED KOLMNURGAS + + = 180º - sisenurkade summa a + b > c, a + c > b ja b + c > a kolmnurga kõrgused ha, hb ja hc
annaabi.ee 
