lisaks mõned nivoojooned, et kasvamine selgitada · Pannes statsionaarse punkti koordinaadid, mis lõikub nivoojoonega, asemele esialgsesse võrrandisse saame lahendi 33. Millisel juhul saab kahte maatriksit liita, lahutada. Siis kui tegu on samamõõtmeliste maatriksitega 34. Millal saab arvutada maatriksite A ja B korrutist AB? Siis kui esimese maatriksi veergude arv võrdub teise ridade arvuga. 35. Millistel maatriksitel on olemas pöördmaatriks? Siis kui antud maatriksi determinant ei võrdu 0-ga 36. Mis on lineaarplaneerimise ülesande lubatav hulk? Lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide (x1 , x2 ) hulka x1x2-tasandil, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 37. Kirjeldada, mis on lineaarplaneerimise ülesande baaslahend, lubatav baaslahend. Lubatav baaslahend on ülesande lubatava hulga iga tipp
nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T . ● sümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = A ● kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. ● Liitmine ● Lahutamine Sama põhimõte nagu liitmisel. ● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi. ● maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise
kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja
transponeeritud maatriksiga: Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega . Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline: Kaldsümmeetriline maatriks on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. Liitmine Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X. Iga X Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi -X Mat(m, n) korral kehtivad X + (-X) = , (-X) + X = . Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t
T¨ahistame teda t¨ahega B. Viimane rahuldab v~orrandeid (6.1), j¨arelikult AB = E ja BA = E. N¨ uu ¨d, n¨aiteks esimesest, teoreemi 5.1 abil saame |AB| = |E| = |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t~ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T~oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1. Singulaarsetel maatriksitel ei ole p¨o¨ordmaatriksit, sest vastasel juhul oma- duse 1 p~ohjal on singulaarne maatriks hoopis regulaarne. Omadus 6.3. Kui ruutmaatriksil on olemas p¨ oo ¨rdmaatriks, siis ainult u ¨ks. T~oestus. Oletame, et maatriksil A on olemas mitmed p¨o¨ordmaatrik- sid. Hakkame neid paarikaupa v~ordlema. Olgu B ja C u ¨ks maatriksi A p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t~ottu kehtivad
Viimane rahuldab v˜orrandeid (6.1), j¨arelikult AB = E ja BA = E. N¨ uu ¨d, n¨aiteks esimesest, teoreemi 5.1 abil saame |AB| = |E| =⇒ |A||B| = 1, millest |A| = 0 ja |B| = 0 t˜ottu maatriks A ja tema p¨o¨ ordmaatriks on regulaarsed. ♠ Omadus 6.2. Maatriksi ja p¨ o¨ordmaatriksi determinandid on teinetei- se p¨o¨ordarvud. T˜oestus. See omadus on ilmne, sest |A||B| = 1. ♠ Singulaarsetel maatriksitel ei ole p¨o¨ordmaatriksit, sest vastasel juhul oma- duse 1 p˜ohjal on singulaarne maatriks hoopis regulaarne. Omadus 6.3. Kui ruutmaatriksil on olemas p¨ oo ¨rdmaatriks, siis ainult u ¨ks. T˜oestus. Oletame, et maatriksil A on olemas mitmed p¨o¨ordmaatrik- sid. Hakkame neid paarikaupa v˜ordlema. Olgu B ja C u ¨ks maatriksi A p¨o¨ordmaatriksite paar. Valemi (6.1) t˜ottu kehtivad
ridu ja veerge ning kõik nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t. maatriksile AT nimetatakse aij = bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. maatriksi A transponeeri- miseks. Definitsioon 1.4 Kui maatriksitel A ja B on võrdne arv ridu ja veerge, siis A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide summad: C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.2) 8 1.2. Definitsioon 1.5
ümberhäälestatavatena, kus ühendused tehakse näiteks pistikute abil. Ühendusskeemi muutmisel muutub juhtautomaadi töö algoritm. Sama otstarvet täidab ka ümberprogrammeeritav loogiline maatriks. Automaadi häälestamist võib tinglikult nimetada programmeerimiseks. Vaadeldud põhimõttel töötavad lihtsate tsükliliste positsioon- juhtimisega robotite ja muutumatu töötsükliga autooperaatorite juhtseadmed. Antud skeem on koostatud ühe konkreetse algoritmi jaoks. Maatriksitel põhinevat loogikalülitust saab hõlpsasti muuta juhtautomaadiks, kui lisada mäluregister. Niisuguse juhtautomaadi struktuur on joonisel 1.34. Ka see, et juhtautomaate võib lülitada järjestikku, kinnitab maatriksitega juhtautomaatide universaalsust. Keeruline loogikafunktsioon realiseeritakse sel juhul mitmeastmeliselt, 64 kasutades vahemuutujaid. Selliseid automaate kasutatakse sageli keerukate juhtseadmete
annaabi.ee 
