KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1. 8 õuna, 13 ploomi, 6 pirni Mitu võimalust on, kui võtta.. a) Üks õun või üks ploom või üks pirn?
sündmuste tõenäosuste korrutisega. SÜNDMUSE JA HULGA VAHELISED SEOSED Venn'i diagrammi interpreteerides, kujuta ette, et punkt asub ristkülikus juhuslikus kohas. Iga punkt ristkülikus väljendab katse tulemust, iga piirkond diagrammil esindab sündmust, et punkt asub selles piirkonnas. TÕENÄOSUSTE LIITMINE JA KORRUTAMINE 1.1 Valemid teineteist mittevälistavate sündmuste tõenäosuse arvutamiseks 1.1.1 Tõenäosuste liitmislause Olgu A ja B suvalised ühe ja sama katsega seotud sündmused. Kehtib järgmine avaldis. P(A U B) = P(A + B)= P(A) + P(B) P(AB). Kolme sündmuse A, B, C korral on tõenäosus: P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC). Ning üldiselt n sündmuse E1, E2, E3, ..., En korral tõenäosuste liitmise avaldis on: Näide 3. Märklauda tulistatakse kaks korda. Tõenäosus tabada esimesel lasul on 0,6 ja tabada teisel lasul on 0,8
mööda; P(A)/P(A)= P(AB)/ P(A).Näide13. või mõlemad) releedest töötab s3 - esimesel lastakse mööda, teisel Urnis on 7 valget ja 3 musta kuulikest. garantiiaja jooksul tõrgedeta on tabatakse; Urnist võetakse üksteise järel kaks sündmuste A ja B summa, AB. s4 - esimesel ja teisel lastakse kuulikest. Esimesena välja võetud Tõenäosuste liitmislause kasutamiseks mööda.Sündmuse A soodsad sündmused kuulike on must. Milline on tõenäosus, peame teadma ka nende sündmuste on s2, s3. A ja B summaks kui toimub et teisena välja võetud kuulike on valge? korrutise AB tõenäosust. Kuna eelduse kas sündmus A või sündmus S või Lahendus. Esimesena välja võetud kohaselt on sündmused sõltumatud, siis mõlemab,tähistatakse AB. AB=A+B
toimunud ja ei mõjuta kuidagi sündmuse B toimumist. Sõltumatute sündmuste korral P(B|A) = P(B). Sõltumatud on alati kahe niisuguse järjestikuse katsega seotud sündmused, kus esimese katse tulemus ei mõjusta teise katse võimalike tulemuste hulka ega tulemuste võimalikkust. Sõltumatute sündmuste korral kehtib võrdus P(A B) = P(A) P(B). so sõltumatute sündmuste korral võrdub sündmuste korrutise tõenäosus korrutatavate sündmuste tõenäosuste korrutisega. 6. Tõenäosuste liitmislause 2 ja 3 sündmuse korral. teineteist mittevälistavate sündmuste tõenäosus Olgu A ja B suvalised ühe ja sama katsega seotud sündmused. Kehtib järgmine avaldis. P(A U B) = P(A + B)= P(A) + P(B) - P(AB). Kolme sündmuse A, B, C korral on tõenäosus: P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) P(BC) + P(ABC). 7. Tõenäosuste korrutamine 2 ja 3 sündmuse korral. kahe sündmuse korral avaldub: P(AB) = P(A) P(B|A). Kolme sündmuse korral: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB). 8
Klassikaline või geomeetriline tõenäosus μ(ΩA)=(2,25-2*0,5)=1,25 k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud sigma-algebraks on F = {∅,[0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,1],A,B,[0,1/2)U[3/4,1],Ω} Punkti juhuslikul valimisel lõigust [0,1] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osalõikudesse [a,b], kus(a väiksemvõrdne b). Seega pakub suurt huvi ka vähim sigma algebra, mis sisaldab kõiki osalõike. 3. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Def: Olgu Ω mingi hulk, mille element ω me nimetame elementaarsündmuseks. Olgu S hulga Ω mingi alamhulkade hulk. Hulga S elemente nimetame juhuslikeks sündmusteks ja hulka Ω elementaarsündmuste ruumiks. Hulka S nimetame hulga Ω hulkade algebraks, kui 1) Ω∈ S 2) A∈S ja B∈S => AUB ∈ S ja AÜB ∈S ja A/B ∈S Tühja hulga tõenäosuse tõestamine: 1) P(∅) = 0 tõestus: on ilmne, et ∅+∅=∅ ja ∅*∅=∅
Geomeetriline jada üldliikme valem: an=a1*qn-1 Geomeetrlise jada summa: Sn=a1(qn 1)/q-1 Geomeetrlise hääbuva jada summa: s=a1/1-q logab=c ac=b alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid
kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(∅) = 0 tõestus: on ilmne, et ∅+∅=∅ ja ∅*∅=∅. Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0. Liitmislause: on selge, et A+B = AB + BA + AB ja (AB)AB = ∅; (BA)AB = ∅; (AB)(BA) = ∅. A = AB + AB ja B = (BA) + AB. Seega
5)) (setq nimi "Mart") (setq punkt `(5.6 8.4 7)) Mitut järjestikust omistamislauset võib ühendada ühte omistamislausesse, mida on mõistlik vormistada struktuursel kujul (alustav ja lõpetav sulg täpselt kohastikku), näiteks: (setq summa (+ A B C 7.5) nimi "Mart" punkt `(5.6 8.4 7) ) 39 Järgmisena võetakse vaatlusele aritmeetilised laused. Liitmislause kujuga (+ arv1 arv2 ...) leiab arvude summa (erijuhtu vt. allpool). Näiteks (+ 1 2) annab tulemuseks 3 (+ 1 2 3 4.5) annab tulemuseks 10.5 (+ 1 2 3 4.0) annab tulemuseks 10.0 Üsna analoogiline on lahutamislause kujuga (erijuhtu vt. allpool) ( arv1 arv2 ...) Kui arve on vähemalt kaks, siis esimesest arvust lahutatakse kõigi ülejäänute summa. Ainult ühe arvu korral muudetakse selle arvu märki. Näiteks
annaabi.ee 
