3 2 1 x 8 Näide 2 Leida funktsiooni y (x) = ln |x| tuletis. 1 a) x > 0, siis |x| = x, ln |x| = ln x, y' = x b) x < 0, siis |x| = -x, ln |x| = ln (-x), Esitame funktsiooni y = ln(-x) liitfunktsioonina: dy 1 y = ln u, = du u du u = -x = -1 dx dy 1 1 1 y ' ( x) = = (-1) = (-1) = dx u -x x Seega (ln | x |) = , 1 kui x 0. x 9 Pöördfunktsiooni tuletis
y' = lim(xx0) ehk y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) m.o.t.t. Näide 1: 5. Tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimise reegel. Olgu argumendi x funktsioon y antud parameetriliste võrranditega t0 t T (1) Eeldame, et funktsioonid x(t) ja y(t) on diferentseeruvad ja et funktsioonil x = x(t) on olemas pöördfunktsioon t = X (x), mis on samuti diferentseeruv. Parameetriliste võrranditega määratud funktsiooni y = f(x) võib siis vaadelda liitfunktsioonina y= y(t), t=X(x), kus t on vahelmine argument. Liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi: y' x = y't t'x = y't ( t ) X'x(x) (2) Pöördfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi Asetades viimase avaldise võrdusesse, saame Ehk Saadud valem võimaldab leida parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletist y'x, leidmata otsest sõltuvust x ja y vahel.
Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1, 0)∪(0,∞) , on esitatav funktsioonide u = (1 + x)1/x ja y = ln u liitfunktsioonina. Kuna (s.t. kui x → 0, siis u → e) ja logaritmfunktsioon on pidev kohal e (s.t. siis 21. Tuletis ja diferentseeruvus. Diferentseeruva funkstiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni tuletis ja diferentseeruvus antud punktis. Funktsiooni f tuletiseks intervalli D punktis a nimetatakse (lõplikku või lõpmatut) piirväärtust (5.1) kui see eksisteerib. Kui piirväärtus (5.1) on lõplik (s.t
d 2 s j ds 'j lüli j joonkiirenduse analoog = = s '' . d12 d 1 Pöörleva alglüli puhul on nurkkiiruse ja -kiirenduse analoogid dimensioonita, joonkiiruse ja -kiirenduse analoogidel aga on pikkuse dimensioon. Kiiruste ja kiirenduste ning nende analoogide vahelise seose tuletamisel lähtume sellest, et lüli i siirdefunktsiooni i = i [i (t)] võib käsitleda liitfunktsioonina. Rakendades liitfunktsioonide tuletamise algoritmi, on 12 d i d i d 1 i = = = i' 1 ... 2.1 dt d 1 dt ja d i d ' d ' d d ' d d 1 = = ( i 1 ) = i 1 + i' 1 = i 1 1 + i' 1 = dt dt dt dt d 1 dt dt = i 1 + i 1 '' 2 '
ln x := loge x 74 3 Pidevad funktsioonid nimetatakse arvu x ∈ (0, ∞) naturaallogaritmiks. Astmefunktsioon. Naturaallogaritmi abil defineeritakse astmefunktsioon. Kui α ∈ R, siis suvalise x > 0 korral tähistame xα := eα ln x . Seega on funktsioon x 7→ xα defineeritud liitfunktsioonina f := ϕ ◦ g, kus g : (0, ∞) → R, x 7→ α ln x ja ϕ : R → R, z 7→ ez . Kuna mõlemad komponendid g ja ϕ on pidevad, siis ka liitfunktsioon f on pidev oma mää- ramispiirkonnas (0, ∞) . 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide sin : R → [−1, 1] , cos : R → [−1, 1]
annaabi.ee 
