Euroopa kultuuris võib osutada nn kolme fenomenile: paljud loosungid, mis kätkevad endas kombinatsiooni kolmest sõnast või mõttest, on olnud väga populaarsed: "Tulin. Nägin. Võitsin.". "Kiiremini! Kaugemale! Kõrgemale!". "Õppida, õppida, õppida!". "Rahu, leiba, maad!". "Üks riik. Üks rahvas! Üks juht" jne. Lausearvutuse süntaks ja semantika Lausearvutuse tähestiku moodustavad kolme tüüpi sümbolid: 1) lausemuutujate sümbolid: A, B, C ... (suured tähed) 2) loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , 3) kirjavahemärgid: () Lausearvutuse süntaks aktsepteerib valemeid kujul: ¬A (A & B) (A B) (A B) (A B) Valemite välimised sulud väib ära jätta. Muid lausearvutuse valemeid (nt A¬, AB&, B(A), B(A), AB jne) ei ole. Lausearvutuse loogiliste tehete tõeväärtustabelid (vt ka Lisa) Eitus p ¬p t v v t Eitus muudab lause tõeväärtuse vastupidiseks. Konjunktsioon p q p&q
Valemi F TKNK nim valemiga F samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike EDK. Kui valem F ei ole samaselt väär, siis tal leidub TDNK. Kui valem F ei ole samaselt tõene, siis tal leidub TKNK (Teoreem 5+Järeldus 1) 4 Täielikule disjunktiivsele normaalkujule viimise algoritmi sammud 1) Elimineerida valemist implikatsioonid ja ekvivalentsid. 2) Viia eitused vahetult lausemuutujate ette, jätta ära kahekordsed eitused. 3) Viia konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale. 4) Jätta ära samaselt väärad ja korduvad liikmed ning liikmetest korduvad literaalid. 5) Lisada liikmetele puuduvad lausemuutujad ning viia uuesti konjunktsioonid disjunktsioonidest sügavamale. 6) Järjestada igas liikmes literaalid ja jätta ära korduvad liikmed.
Koostame valemi põhjal tõeväärtustabeli Vaatame vaid neid ridu, mil valem on tõene Koostame konjuktsioonid ridadele vastavatest elementide tõeväärtustest (nt kui X=t, Y=t ja Z=v, siis saame X&Y&¬Z) Ühendame saadud konjuktsioonid ühiseks disjunktsiooniks o TDNK-le viimise algoritm: Elimineerida implikatsioonid ja ekvivalentsid Viia eitused vahetult lausemuutujate ette (st konjunktsioonide ja disjunktsioonide sisse) Korrutada disjunktsioonid läbi (distributiivsuse seaduse abil) Kaotada samaselt väärad konjunktsioonid ja sama liikme mitmekordsed esinemised konjunktsioonides Lisada konjunktsioonidele puuduvad muutujad Korrastada valem (järjestada muutujad konjunktsioonides ja kaotada korduvad konjunktsioonid)
Tõestuspiirkondade kirjeldused TDNK olemasolu ja ühesus Teoreem. Kui valem F ei ole samaselt väär, siis tal leidub täielikdisjunktiivne normaalkuju. Järeldus. Kui valem F ei ole samaselt tõene, siis tal leidub täielikkonjunktiivne normaalkuju. Tõestus. Et valem ¬F ei ole samaselt väär, siis leidub tal täielik disjunktiivne normaalkuju. Leiame mõlemast poolest eituse, seejärel viime paremal eituse sissepoole De Morgani seaduste abil. Nii saame Paremal poolel võis lausemuutujate ette tekkida kahekordseid eitusi. Jättes need ära, ongi tulemuseks valemi F täielik konjunktiivne normaalkuju TDNK’le teisendamise algoritm, etappidel kasutatavad samaväärsused o Elimineerime implikatsioonid ja ekvivalentsid 8 F → G ≡ ¬F ∨ G, F ↔ G ≡ F & G ∨ ¬F & ¬G o Viime eitused vahetult lausemuutujate ette, kasutades De Morgani seadusi ¬(F & G) ≡ ¬F ∨ ¬G, ¬(F ∨ G) ≡ ¬F & ¬G
võib olla nt tavad, kogemus, filosoofia, kuninga tahe jpm. Kui mingi lause tõeväärtuse kindlakstegemine ei ole konkreetses kontekstis võimalik, siis pole tegemist lausega lausearvutuse mõttes. Lausearvutuses võib lause asendada selle tõeväärtusega. Lause võib olla lihtlause või liitlause. Lausearvutuse tehteks nimetatakse niisugust lausetes kasutatavat seost, mille tõeväärtus on tema osalausete tõeväärtuste funktsioon. Lausearvutuse tähestik: · lausemuutujate sümbolid: A, B, C, B2, ... (suurtähed); (väiketähed: p, q, ... tähistavad metamuutujaid); · loogilised konstandid: tõene ja väär ; · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , (prioriteedi langemise järjekorras); · kirjavahemärgid: (), [ ] ; Tarvis on veel metasümboleid: · võrdusmärk ehk objektideevahelise võrduse seos: =; selle asemel võib (ja on mõnikord täpsemgi) kasutada samasuse sümbolit: ;
Samasuse märk, nt p ≡ q, võib tähistada asjaolu, et antud arutluse kontekstis leiab võrdus aset muutujate kõigi väärtuste korral. LAUSETE KVALIFITSEERIMINE (LIIGITAMINE) JA LOOGILINE JRELDUVUS (FORMAALNE IMPLIKATSIOON) Lausearvutuse lauseid saab liigitada samaselt tõesteks, samaselt vääradeks ning kontingentseteks ehk sattumuslikeks. Analoogiliselt traditsioonilises loogikas käsitletud kategooriliste väidetega on samaselt tõene lause tõene lausemuutujate mis tahes interpretatsiooni korral, samaselt väär lause on väär lausemuutujate mis tahes interpretatsiooni korral ning sattumuslik lause võib olla kas tõene või väär sõltuvalt lausemuutujate interpretatsioonist. D7.6.1 Lause on samaselt tõene ehk loogiliselt tõene ehk tautoloogia (tautology) parajasti siis, kui lause on tõene oma komponentlausete mis tahes tõeväärtusjaotuse korral, nt: A A ∨ ¬A A B A ∨ ¬A ∨ B 11111 01101 011 001 1 Väljendid „..
v t v t v v v v t t t t Samaväärsed võivad olla ka erinevaid muutujaid sisaldavad valemid. Näiteks, kui: = (Y X) (¬Y X) ja = (X Z) (X ¬Z), siis . Teoreem Valemid ja on samaväärsed parajasti siis, kui valemist järeldubvalem ja valemist järeldub valem . TÕESTUS Kui , siis suvalisel valemites ja esinevate lausemuutujate väärtustusel on need valemid kas mõlemad tõesed või mõlemad väärad. Seepärast kehtivad järeldused ja . Ümberpöördult, kui ja , siis ei saa leiduda väärtustust, kus ja tõeväärtused oleksid erinevad, mistõttu . Teoreem Valemid ja on samaväärsed parajasti siis, kui valem on samaselt tõene TÕESTUS Eeldame, et valemid ja on samaväärsed. Valime valemites ja esinevatele muutujatele suvalise väärtustuse
.. siis ...": või . Samasuse märk, nt p q, võib tähistada asjaolu, et antud arutluse kontekstis leiab võrdus aset muutujate kõigi väärtuste korral. LAUSETE KVALIFITSEERIMINE (LIIGITAMINE) JA LOOGILINE JÄRELDUVUS (FORMAALNE IMPLIKATSIOON) Lausearvutuse lauseid saab liigitada samaselt tõesteks, samaselt vääradeks ning kontingentseteks ehk sattumuslikeks. Analoogiliselt traditsioonilises loogikas käsitletud kategooriliste väidetega on samaselt tõene lause tõene lausemuutujate mis tahes interpretatsiooni korral, samaselt väär lause on väär lausemuutujate mis tahes interpretatsiooni korral ning sattumuslik lause võib olla kas tõene või väär sõltuvalt lausemuutujate interpretatsioonist. D7.6.1 Lause on samaselt tõene ehk loogiliselt tõene ehk tautoloogia (tautology) parajasti siis, kui lause on tõene oma komponentlausete mis tahes tõeväärtusjaotuse korral, nt:
annaabi.ee 
