Olgu {Xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi kohaselt sisaldab {Xn} mingi koonduva osajada {Xnk}'d. *Tähistame nk ja näitame, et nk=a. *Olgu >0 ja N selline indeks, et |Xn+p - Xn| < (n>N, p N) *Olgu K N valitud nii, et nk>N, kui k>K ja |Xnk - a|< . Seeg e õ g nde te n N puhu |Xn - a| = |Xn -Xnk +Xnk - a| |Xnk - Xn| + |Xnk - a|< = 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xnk}, mis koondub arvuks a. 11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja funktsiooni
{xn} osajadaks {yn} nimetatakse jada, mis on saadud jadast {x n} lõpliku või lõpmatu hulga jadaSaame vastuolu kuna vastavalt eeldusele Uε(a) ∩ Uε(b) = ∅ elementide väljajätmise teel. Bolzano-Weierstrass: Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva 4. Koonduva jada tõkestatuse tõestus. osajada. Edaspidi 7,8 cauchy jada kohta 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos 5. Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. jada koonduvusega. 6. Naidata, et kui limn→∞xn = a ja limn→∞yn = a ning xn < zn < yn, siis limn→∞ zn = a. Öeldakse, et{xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga ε > 0 korral leidub N ∈ N, et iga Toestus: Fikseerime ε. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile leiduvad arvud N1, N2 ∈ N, nii et
∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega - *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt.
Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused. x korral, mis täidab tingimust 0 < |x - a| < () kehtib võrratus |f(x) - b| < . 7. Lõpmata väikesed ja suured suurused
x→ a f (x) ) *Lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Olgu α (x) lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo ja f(x) tõkestatud *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt.
annaabi.ee 
