.., x n ) = xi ei , i Vektorite a = ( a1 , a 2 ,..., a n ) ja b = ( b1 , b2 ,..., bn ) skalaarkorrutis a b = a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn . Vektori a norm a = aa = a12 + a 22 + ... + a n2 . Ortonormeeritud (ortogonaalse normeeritud) baasvektorite (ristbaasi) korral 1 kui i = j ei e j = ij = kus ij on Kroneckeri sümbol . 0 kui i j Kolmemõõtmelises x, y , z ristkoordinaadistikus tähistatakse telgede suunalised ühikvektorid sageli i = (1, 0, 0 ) , j = ( 0,1, 0 ) , k = ( 0, 0,1) , kohavektor: x = ( x, y, z ) = xi + yj + zk ,
-5 1 0 3 - 0 1 0 -2 0 1 4 0 1 -3 Siin esinevad kolmandat j¨arku determinandid on omakorda v~oima- lik arvutada arendusvalemi abil. Determinandi v¨a¨artuse arvutami- se j¨atame lugejale iseseisvaks u ¨lesandeks. 4 I. Determinandid 2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid 2.1 Kroneckeri su ¨ mbol Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga 1, kui i = j ij = 0, kui i = j 2.2 Arendusteoreemid Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A =
a ak 2 ... a kk ... a kn k k1 ... ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nk ... a nn Kuna maatriksis B kaks rida oma omavahel võrdsed, siis selle determinant võrdub 0: det B = 0. Seega a k1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + ... + a kn Ain = 0. Selleks, et ühendada valemid (1) ja (2) üheks valemiks toome sisse definitsiooni: Definitsioon. Kroneckeri sümboliks nimetatakse suurust Nüüd Kroneckeri sümboli ik abil on võimalik ühendada valemid (1) ja (2): a k1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + ... + a kn Ain = ik det A. (3) Tõepoolest, kui i = k, siis ik = 1 ning saame valemi (1), vastasel juhul ik = 0 ning saame valemi (2). Et determinandi võib arendada ka veeru järgi, siis analoogilise aruteluga saame:
j * k dq = jk , 1, kui j = k jk = 0, kui j k Selline kokkuvõte kehtib omaväärtuste diskreetse spektri puhul. MLT 6004 Kvantmehhaanika 17 Kui funktsiooni indeksid i, k muutuvad pidevalt, siis valemi (23.1) üldistus seisneb Kroneckeri sümboli ik asendamises -funktsiooniga ( - ) , kusjuures , on mingisugused pidevaid väärtusi omandavad suurused: * (a, q ), (a, q )dq = (a - a ) 0, kui x 0 (x ) = , kui x = 0 (x ) - Diraci deltafunktsioon ehk * dq = ( - ). (23.2)
1 0 0 1 0 E= , E = 0 1 0 0 1 0 0 1 on vastavalt teist ja kolmandat j¨arku u ¨ ¨hikmaatriksid. Uhikmaatriksi saab kirja panna ka l¨ uhidalt u ¨ldelemendi abil, kasutades selleks Kroneckeri s¨ um- bolit ij . Viimane defineeritakse valemiga 0, kui i = j ij := . (1.4) 1, kui i = j 5 N¨aiteks (ij ), kus i, j Nn , on n- j¨arku u ¨hikmaatriks. Definitsioon 1.6
1 0 0 1 0 E= , E = 0 1 0 0 1 0 0 1 on vastavalt teist ja kolmandat j¨arku u ¨ ¨hikmaatriksid. Uhikmaatriksi saab kirja panna ka l¨uhidalt u ¨ldelemendi abil, kasutades selleks Kroneckeri s¨ um- bolit δij . Viimane defineeritakse valemiga 0, kui i = j δij := . (1.4) 1, kui i = j 5 N¨aiteks (δij ), kus i, j ∈ Nn , on n- j¨arku u ¨hikmaatriks. Definitsioon 1.6
annaabi.ee 
