(r) 2) Pn (x0 ) = 0 N¨ aide unoomi p(x) = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 2-kordne Arv x0 = 1 on pol¨ juur, sest 1) p(1) = p (1) = 0 2) p (1) = 2 = 0 Teoreem 8. Kui pol¨ unoomi kordajad on reaalsed ning x0 C unoomi r-kordne juur, siis ka x0 on sama pol¨ on selle pol¨ unoomi r-kordne juur. 13.3 Algebra p~ ohiteoreem Teoreem 9. Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme pol¨ unoo- mil leidub parajasti n kompleksarvulist juurt (kordsused kaasa ar- vatud). 13.4 ¨ Uhejuured unoomi xn - 1 kompleksarvulisi juuri nimetatakse Pol¨ n-j¨ arku u ¨he- juurteks. K~oigi n-j¨arku u ahistatakse n 1. ¨hejuurte hulka t¨
mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd mis sisaldab üheaegselt nii hääbuvat kui perioodilidelt muutuvat osa. · Lihtsaimat lahendit kus ja omavad ülaltoodud tähendust, nimetame sumbuvateks võnkumisteks ja neid võib ligikaudselt vaadelda kui eksponentsiaalselt kahaneva amplituudiga harmoonilisi võnkumisi.
mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd mis sisaldab üheaegselt nii hääbuvat kui perioodilidelt muutuvat osa. · Lihtsaimat lahendit kus ja omavad ülaltoodud tähendust, nimetame sumbuvateks võnkumisteks ja neid võib ligikaudselt vaadelda kui eksponentsiaalselt kahaneva amplituudiga harmoonilisi võnkumisi.
Pn (x) = a0 (x-x1 )k1 · · · (x-xm )km (x2 +p1 x+q1 )s1 · · · (x2 +pr x+qr )sr , (16.7) 2 kusjuures ruutkolmliikmed x +pj x+qj , j = 1, . . . , r on positiivsed, s.t. vastavad ruutvõrrandid x2 + pj x + qj , j = 1, . . . , r, ei oma reaalarvulisi lahendeid. Seega on reaalarvud x1 , x2 , . . . , xm võrrandi (16.6) lahen- did vastavalt kordsusega k1 , . . . , km , selle võrrandi kompleksarvuliste lahendite leidmiseks tuleb lahendada ruutvõrrandid x2 + pj x + qj = 0, j = 1, . . . , r, (16.8) (lahenditeks on kaaskompleksarvude paar). 148 Kirjandus [1] D. R. Bellhouse. Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. CRC Press, 2011. [2] D. R. Causton. A Biologist's Basic Mathematics. Edward Arnold, 1983. [3] M. M
Plancki konstant ka kui mõjukvant. h dimensioon ühtib ka impulsimomendi dimensiooniga. Väga tihti on aga Plancki konstant jagatud 2 piiga, seepärast on h tegelik arvväärtus aga järgmine: h = 6,62 * 10-34 J*s = 6,62 * 10-27 erg*s. Kompleksarvud kvantmehaanikas Schrödingeri võrrand sisaldab imaginaarühikut ja seega on selle võrrandi kõik lahendid üldiselt kompleksarvuliste väärtustega. Arvestada tuleb ainult võrrandi reaalosa. Kompleksarve ei ole võimalik järjestada. Kompleksarvud füüsikas ise ei oma tegelikult füüsikalisi tähendusi, vaid tuleneb ainult matemaatikast. Paljud füüsika võrrandid kirjutatakse sageli komplekskujul, sest siis on lihtsam sooritada arvutusi ( näiteks tuletusi ja integreerimist ). Kuna Schrödingeri võrrand on kvantmehaanika põhivõrrand, mis on ka komplekskujul, siis peaaegu ka kõik teised
annaabi.ee 
