I = ja seetõttu: või f ( x, y)dxdy = F ( , )d d f ( x, y)dxdy = F ( , )d d D 1( ) D 1 1( ) 4. Kolmekordse integraali definitsioon, regulaarne kolmemõõtmeline piirkond, kolmikintegraal, teoreem kolmekordse integraali ja kolmikintegraali vahelisest seosest tõestuseta. Seda piirväärtust, mis ei sõltu ei piirkonna V jaotamisviisist ega punktide P1 valikust, tähistatakse sümboliga f ( P )dv ja nimetatakse kolmekordseks integraaliks. V Seega definitsiooni järgi: f ( P)dv = f ( x, y, z )dxdydz . Olgu ruumiline v V (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on
1.), on olemas piirväärtus, kusjuures integraalsumma piirväärtusel on seesama mõte, mis kahekordse integraali definitsiooni puhul. Piirväärtst mis ei sõltu piirkonna V jaotamisviisist ega punktide Pi valikust, nim. funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V ja tähistatakse sümboliga ehk 6. Kolmekordse integraali arvutamine: regulaarse kolmemõõtmelise piirkonna definitsioon (+näiteid); kolmikintegraali definitsioon; keha ruumala arvutamine kolmekordse integraali abil. Olgu ruumiline (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkonda V seesmist punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D;
Aditiivsus: Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis fdxdydz = fdxdydz + fdxdydz D D1 D2 Monotoonsus: kui f(P) g(P) igas punkti P puhul piirkonnast D, siis fdxdydz gdxdydz D D Kolmekordse integraali arvutamine. Tema rakendusi Arvutatakse kolmikintegraali abli, mis kujutab endast määratud integraalide süsteemi. b 2 ( x) 2 ( x, y) fxfyfz = dx dy fdz Dx= [a, b ] 1 ( x ) 2 ( x ) x [a, b ] 1 ( x ) 1 ( x , y ) D a 1 ( x , y ) 2 ( x, y ) P( x, y ) D xy Parempooltset avaldist nim kolmikintegraaliks. Ta kujutab endast süsteemi kolmest määratud integraalist
Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus. Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver. 8. Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks. Kolmikintegraal üle pinna V: 9. Kolmekordse integraali arvutamine silinder- ja sfäärikoordinaatides, näiteid Kui integreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoord
2 dy dx 24 dx 720 1. 39 10 0 0 0 Kolmekordsel integraalil on analoogilised omadused kahekordse integraaliga. Kehtib ka analoogiline teoreem kolmekordse integraali arvutamiseks kolmikintegraali abil Teoreem 7. b 2 x 2 x,y f x, y, z dxdydz f x, y, z dz dy dx a 1 x 1 x,y V Analoogiliselt kaksikintegraali juhuga, kui seda võimaldab piirkonna V kuju, saab koostada kolmikintegraali teistsuguse integreerimismuutujate järjekorraga ja teiste rajadega.
annaabi.ee 
