Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult
TEOREEMID 1. Kahega jaguvuse tunnus - Arv jagub 2-ga siis, kui arvu üheliste number on paarisnumber, vastasel juhul mitte 2. Kolmega jaguvuse tunnus - Arv jagub 3-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 3-ga, vastasel juhul mitte 3. Viiega jaguvuse tunnus - Arv jagub 5-ga siis, kui arvu üheliste number lõppeb 0 või 5-ga, vastasel juhul mitte 4. Üheksaga jaguvuse tunnus - Arv jagub 9-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 9-ga, vastasel juhul mitte 5. Kümnega jaguvuse tunnus - Arv jagub 10-ga siis, kui arvu üheliste numbes lõppeb 0-ga, vastasel juhul mitte 6. Tippnurkade omadus - Tippnurgad on võrdsed 7. Kõrvunurkade omadus - Kõrvunurgad on kõrvuti nind need on võrdsed 8. Võrdhaarse kolmnurga alusnurkade omadus - Alusnurgad on võrdsed 9
Kolmnurkade võrdsuse tunnus NKN Kui kahe kolmnurgal 1 külg ja lähisnurgad on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed. Kolmnurkade võrdsuse tunnus KNK Kui kaks külge ja pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed, siis kolmnurgad on võrdsed. Paralleelide aksioom Väljaspool sirget asuvat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Kõrvunurkade omadus Kõrvunurkade summa on 180 kraadi. 3-ga jaguvuse tunnus Arv jagub 3-ga kui arvu ristsumma jagub kolmega. 4-ga jaguvuse tunnus Arv jagub 4-ga kui kahest viimasest numbrist koosnev arv jagub 4- ga. 9-ga jaguvuse tunnus Arv jagub 8-ga, kui Tippnurkade omadus Tippnurgad on võrdsed. Rööpküliku külgede omadus Paralleelsed ja võrdsed vastasküljed. 8-ga jaguvuse tunnus Kui kahest viimasest arvust koosnev arv jagub 8-ga. 2-ga jaguvuse tunnus Arv jagub kahega kui see on paarisarv.
...............................................3 2. Uurimustöös esinevate mõistete definitsioonid..................................................4 3. Algarvud ja kordarvud........................................................................................5 3.2. Algarvude tabel...............................................................................................6 4. Arvu tegurid ja kordsed......................................................................................7 5. Jaguvuse tunnused.............................................................................................. 5.1. Jaguvus 2, 5 ja 10-ga.................................................................................. 5.2. Jaguvus 3 ja 9-ga......................................................................................8 6. Kordarvu lahutamine algteguriteks....................................................................9 7. Ajaloolisi andmeid........................................
Eksam 3. Relatsioonid Olgu R ja S mingid ühel ja samal hulgal määratud relatsioonid. 1. Tõestada, et kehtib sisaldavus R2 U S2 c (R U S)2 2. Tõestada, et ei tarvitse kehtida sisaldavus (R U S)2 c R2 U S2 4. Jagavus 1. Defineerida jagavus. 2. Tõestada vahetu arutlisega, lähtudes jaguvuse mõistest, et kui a | b ja a | c, siis ka a | b + c, a | b c ja a | bc. 3. Vaatleme Eukleidese algoritmi sammu a1b b1r. Tõestada, et kui mingi arv d on vasaku poole arvude tegur, siis on ta ka parema poole arvude tegur ja ümberpöördult. 4. Olgu a, b ja c sellised naturaalarvud, et a | c, b | c, kuid a b. Tõestada, et ei tarvitse kehtida a | c/b. 5. Milliseid tingimusi peab arv a rahuldama, et suvaliste selliste arvude b ja c jaoks, mille
I$ = = = 2 21 21 42 14 Leian I# -e. 7 - 21 14 - 7 + 21 7 + 21 I# = 1 - = = 14 14 14 Vastus: eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n-kilomeetrilise treeningu, on 7 + 21 3 + 21 7 - 21 3 - 21 = + 14 2 14 2 ÜLESANNE 3 Lähtun jaguvuse definitsioonist: I | I, kui leidub selline täisarv , et I = I Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 Kui I | I, siis I = I# ja kui I | I, siis I = I$ , kus # ja $ on mingid täisarvud.
N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega.
Piirdenurk on täisnurk siis ja ainult siis, kui ta toetub diameetrile. 22..4. Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad teineteist. 23. Millal öeldakse, et on antud mõiste tunnus? Näide · Kui kehtivad nii teoreem kui ka pöördteoreem, siis öeldakse, et on antud mõiste tunnus. 23..1. Tasandi punkti nurgapoolitajal asumise tunnus, kümnega jaguvuse tunnus, piirdenurga täisnurgaks olemise tunnus, nelinurga rööpkülikuks olemise tunnus, alkoholi tarbinu tunnus. 24. Vastuväitelise tõestusviisi kirjeldus- Iga väite korral on tõene kas väide ise või selle eitus, kolmandat võimalust ei ole. 1.. Selle tõestusviisi korral eeldatakse, et teoreemi väide ei ole tõene, vaid et tõene on hoopis selle väite eitus. 2.
b) Paaritute arvude hulk on kinnine korrutamise suhtes. 3) Seosed hulkade vahel. a) = {0; 1; 2; 3; 4; 5} b) = {2; 3; 4; 7; 11; 13} c) = {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14} d) = {0; 2; 4; 6; 8; 10} e) = {1; 3; 5; 7; 9; 11} 1. {0; 2} 2. {2} 3. = 4. {0; 1} = 5. {2} = {1} 8. Jaguvuse tunnused. 1) Arv jagub 2-ga ta lõpeb numbriga 0; 2; 4; 6; 8. 2) Arv jagub 3-ga selle arvu ristsumma jagub 3-ga. 3) Arv jagub 4-ga ta lõpeb kahe 00-ga või tema kahest viimasest numbrist moodustuv arv jagub 4-ga. 4) Arv jagub 5-ga ta lõpeb numbriga 0 või 5. 5) Arv jagub 6-ga ta on paarisarv ning ristsumma jagub 3-ga.
sirgega (paralleelide aksioom) 9.Teoreem - lause, mille tõesust saab Ül.596 põhjendada varem teada olevate tõdede Teoreem (kõrvunurkade omadus). abil Kõrvunurkade summa on 180°. Teoreem (tippnurkade omadus). NB kasutatakse teiste teoreemide Tippnurgad on võrdsed. tõestamisel Teoreem (3-ga jaguvuse tunnus). Arv jagub 3-ga parajasti siis, kui tema ristsumma jagub 3-ga. Teoreem (võrdsuse tunnus KKK). Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed.
· Vaatleme naturaalarvu a = ... +1 · Et a > 1, siis aritmeetika põhiteoreemi tõttu peab leiduma algarv, mis arvu a jagab. p1 pn · Kuna oletasime, et , ... , on ainsad algarvud, siis peab leiduma selline i pi {1, ... , n} nii, et | a. pi p1 p2 pn · Jaguvuse omaduste põhjal saame, et | (a - ... ) = 1, mis on vastuolus pi sellega, et > 1. Matemaatiline induktsioon Alustame näitega probleemist, mille tõestamiseks läheb vaja matemaatilist induktsiooni. Hüpotees. Esimese n paaritu arvu summa on n2. Illustreerime seda väidet tabeliga: Aga siiski jääb õhku rippuma küsimus, et kas tõesti 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2 n - 1) on võrdne arvuga n2?
annaabi.ee 
