Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Irratsionaalarvudega ja lõpmatute perioodiliste arvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikebi ümardatult on 3,14; 31,73. Kui arvud on esitatud kujul , 3, 2, siis öeldakse, et on antud irratsionaalarvu täpne väärtus. Kasutatud materjal Lea Lepmann, Tiit Lepmann, Kalle Velsker ,,Matemaatika 10. Klassile" (lk 3-17)
Ta väidab, et samasugune muusikaline harmoonia täidab kogu maailma. Päikese, kuu ja tähtede liikumine tekitab võimsaid toone s.o. "sfääride muusika", mida me ei taju. Püthagoras ei otsi maailma harmooniat mitte ürgaines, vaid ürgseaduses - nimet muutumatutes arvulistes suhetes. Tema kosmogoonia leidis tugevad kriitikat ühe tema enda avastuse tõttu. Ta näitas, et ruudu diogonaali ja külgede suhe ei saa olla täisarv. Diagonaali mittevõrdelisuse probleem viis välja irratsionaalarvu avastamiseni. Peale selle esindas ta veel idast pärit hingede rändu. Püthagorase ühing võttis vastu ka naisi, iga liige pidi elama kasinalt ja tagasihoidlikult, ei tohtinud tappa ühtki looma, kui loom ei rünnanud. Igal õhtul pidid nad kontrollima oma südametunnistust ja olid kohustatud kuuldust vaikima. Eleaadid Xenophanes Oli luuletaja ja laulja, ta kritiseeris julgelt antiik-kreeka religiooni, naeruvääristas inimlikke
· Himustav naba ja maksa piirkonnas - tasakaal · Tema kosmogoonia leidis tugevat kriitikat ühe tema · Riigi õpetus: enda avastuse tõttu. Ta näitas, et ruudu diagonaali ja külgede suhe ei saa olla täisarv. Diagonaali · Valitsejad filosoofid mittevõrdelisuse probleem viis välja irratsionaalarvu · Sõjamehed valvurid avastamiseni. · Käsitöölised ja põllutöölised · Peale selle esindas ta veel idast pärit hingederännu · ÕIGLUS = Iga hingealge täidab talle loomuomast õpetust. ülesannet. · Inimhing läbib mitmeid elusid, et puhastuda.
2. Märkus 16.2 Erijuhul, kui = , saame Euler'i samasuse ei· + 1 = 0, (16.4) mis kaasab ühte lihtsasse valemisse 5 tähtsamat matemaatilist konstan- ti ja lisaks 4 põhitehet: astendamist, korrutamist, liitmist ja võrdust. Viimase põhjal peavad paljud matemaatikud Euler'i samasust läbi ae- gade üheks kõige ilusamaks valemiks. Kui kirjutada ei· = -1, siis võib näha, et irratsionaalarvu e aste imaginaararvuga i annab tulemuseks täisarvu (reaalarvu) -1. Üsna kummaline, eks ole? Olgu antud kaks kompleksarvu eksponentkujul z1 = r1 ei1 ja z2 = r2 ei2 . Siis 1. z1 · z2 = r1 · r2 · ei(1 +2 ) ; z1 r1 2. = ei(1 -2 ) , r2 = 0; z2 r2 3. z n = (r ei )n = rn ei n , n Z; +2k 4. n z= n r ei n , k = 0, 1, 2, . . . , n - 1. Märkus 16.3
funktsioonini reaalarvudel* Pidevast funktsioonist võime rääkida ka ratsionaalarvuliste funktsioonide korral: sel juhul on lihtsalt kõik piirprotsessid defineeritud ainult ratsionaalarvude hulgal. Näiteks arvude puhul defineerisime arvu astme ainult ratsionaalarvuliste astenda- jate korral ja tulemuseks oli pidev funktsioon ratsionaalarvudel [lk 110]. Üldiselt on pideva ratsionaalarvulise funktsiooni laiendamiseks reaalarvudele väga palju võimalusi. Võime ju iga lubatud irratsionaalarvu jaoks valida mingi suvalise funktsiooni väärtuse. Näiteks oleks täiesti lubatud funktsioon, mis igale ratsionaalarvule seab vastuseks iseenda ning igale irratsionaalarvule hoopis nulli. See poleks küll eriti kena masin, aga igati lubatud. Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil. See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist ratsionaal-
annaabi.ee 
