kusjuures kehtib valem: VALEM Kui joon AB asub z, x, y tasandil, siis nimetatakse integraali tasandiliseks. Sellisel juhul võib olla ka funktsioon f kahe muutuja funktsioon f(x,y). See esitub kujul: VALEM Parameetriline võrrand: x=x(t) y=y(t) tЄ[α;β] , siis VALEM Ristkoordinaadid: y=y(x), xЄ[a,b], siis VALEM Polaarkoordinaadid: ρ=ρ(φ), φЄ[α;β], siis ʃABf(x,y,z)ds=ʃαß:f(ρcosφ;ρsinφ)sqrt[ρ2+(ρ’)2]dφ OMADUSED: 1)Joonintegraal ei sõltu integreerimistee läbimise suunast. ʃABf(x,y,z)ds=ʃBAf(x,y,z)ds 2)Joonintegraal on aditiivne. ʃABf(x,y,z)ds=ʃACf(x,y,z)ds + ʃCBf(x,y,z)ds 3)Joonintegraal on lineaarne, iga arvu k ja l korral VALEM 12. II liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis antud joon AB ning sellel joonel kolmemuutuja funktsioon f(x,y,z). Jaotame AB n osaks punktiga Pi(0; 1; …; n), kus A=P0 ja B=Pn. Valime igal osakaarel punkti QiЄ[Pi-1;Pi] ning moodustame summa: VALEM DEF
joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Q i valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi üle AB ja tähistatakse n J f x, y, z ds fds lim max s i 0 i 1 f Q i s i 6 AB AB Joont AB integraalis (6) nimetatakse integreerimisteeks, punkti A nimetatakse integreerimistee alguspunktiks ja punkti B tema lõpp-punktiks. Integreerimisteed AB märgitakse ka ühe tähega L, s.o. J f x, y, z ds f x, y, z ds. AB L Kui joon on kinnine, s.t. A B, siis kasutatkse sageli ka sümbolit J f x, y, z ds L 2.1.1 I liiki joonintegraali arvutamine Kehtib Teoreem 8. Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki jooninegraal
Sirgestuva joone korral kehtivad järgmised väited Kui eksisteerib integraal f(P)dS, D on sidus ja f c C(D), siis leidub punkt Q c D, nii et f(P)dS = f(Q)S D. Teist liiki joonintegraal sõltub integreerimistee läbimise suunast: BAXdx + Ydy + Zdz = - BAXdx + Ydy + Zdz y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes Fdr = 1Fdr + 2Fdr, = 1 2 regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? c(F + G)dr = cFdr + cGdr
Raskusjõu korral on üles tõstetavale kehale mõjuv jõud konstantne ( ) ning tehtav töö on võrdeline kõrguse muutusega ( ), kuna raskusjõud ning vertikaalnihe on vastassuunalised. Vedru venitamisel kasvab elastsusjõud võrdeliselt venituse ulatusega (deformatsiooni suurusega, ) ning . (integreerimistee otspunkdid on l1 ja l2). · Energia jäävuse seadus. Mehaanilise koguenergia muutus on võrdne välisjõudude poolt tehtud tööga, välisjõudude töö puudumisel on koguenergia muutus null st. koguenergia on muutumatu e. jääv. ; ja kogu tehtud töö , kus . · Impulsi jäävuse seadus.
¨ I 4 / 10 Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal Lause ¨ Sirgestuva joone korral kehtivad jargmised ¨ vaited 1ds = s ~ integreerimistee labimise Esimest liiki joonintegraal ei soltu ¨ suunast. f (P)ds = f (P)ds + f (P)ds, = 1 2 1 2 c(f (P) + g(P))ds = c f (P)ds + c g(P)ds Kui m f (P) g(P) M, siis
annaabi.ee 
