· Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks S1,S2,...,Sn.Tähistagu Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu.
ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt b n f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1 1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak-
Kuna joon AB on sile, siis x (t ) ja y (t ) on pidevad. Seega [x(t )]2 + [ y(t )]2 on samuti pidev piirkonnas [t i -1 , t i ]. Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi igas osalõigus [t i -1 , t i ], mille kohaselt leiduvad punktid i [t i -1 , t i ] nii, et si = [x( i )]2 + [ y( i )]2 (ti - ti-1 ) = [x( i )]2 + [ y( i )]2 ti . Valides esimest liiki joonintegraali integraalsummas punktid Qi = ( x( i ), y ( i )) i = 1,..., n saame n f ( x, y )ds = lim f (Q )s i i = max si 0 AB i =1 n f (x( ), y( )) [x( )] + [ y ( )] t = f (x(t ), y(t )) [x(t )] + [ y (t )] dt
omaduse 5.10 põhjal on g integreeruv ning kehtib võrdus (5.14) (selgitada!)z. Funktsiooni h väärtused on mingi lõpliku arvu punktide c1 , c2 , . . . , cp ∈ [a, b] korral nul- list erinevad, olgu M := max {|h (ci )| | i = 1, . . . , p}. Lõigu [a, b] iga alajaotuse T [x0 , . . . , xn ] puhul saab punkt ci kuuluda üheaegselt ülimalt kahte osalõiku [xk−1 , xk ]. Järelikult on funkt- siooni h integraalsummas σ (h, T, ξ) suvaliste ξk ∈ [xk−1 , xk ] korral ülimalt 2p nullist erinevat liidetavat, mistõttu n X n X h (ξk ) ∆xk 6 |h (ξk )| ∆xk 6 2pMλ (T ) , k=1 k=1 seega Z b
ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks. Seega definitsiooni kohaselt b n f (x)dx = lim f (k )xk . a 0 k=1 1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak-
annaabi.ee 
