12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa: 1. Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9). 2. Integraalarvutus (loengud 10-16). Harjutustunnid: Vastavalt loengumaterjalile. Iseseisva töö korraldus: Iseseisvalt tuleb omandada põhilise õpiku mõningad osad (konkretiseeritakse loengul vastavalt vajadusele). Harjutustundides antakse lahendamiseks koduülesanded, mille korrektsed lahendused tuleb kohustuslikus korras esitada harjutustunde läbiviivale õppejõule (seda loetakse üheks eksamieelduseks). Teadmiste kontroll: Lõplik teadmiste kontroll toimub eksamil
3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( ...
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( ...
Funktsioonid ja võrrandid I 3. Geomeetria 3. Funktsioonid ja võrrandid II 4. Matemaatilised mudelid 4. Geomeetria 5. *Tõenäosusteooria, 5. Vektorid ja analüütiline matemaatiline statistika geomeetria 6. Majandusmatemaatika 6. Diferentsiaalarvutus I 7. Diferentsiaalarvutus II Lisa: vektorid, analüütiline geomeetria, 8. Integraalarvutus mat. uurimismeetodid 9. *Tõenäosusteooria, matem. statistika 10.Diskreetne matemaatika Lisa: matem. analüüs, numbrilised 13 meetodid, arvuteooria
Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi) loengumaterjali kohta ja kaks ulesannete
Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u
annaabi.ee 
