Saame Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton-Leibnitzi valemi tõttu Avaldame selle võrduse seose vasakusse poolde. Saame Viies võrduse teisele poole, tultame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. a. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid a.1. Päratu integraal poollõigul Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõpmatul poollõigul Seega on f pidev ka kõigil lõplikel lõikudel ], kus . Järelikult eksisteerib määratud integraal Vaatleme selle intehraali käitumist protsessis
Kirjutame nende korrutise diferentsiaali avaldise b.iii. Integreerime seda avaldist rajades a-st b-ni b.iv. Arvutame avaldise vasaku poole eraldi. Kuna siis Newton-Leibnitzi tõttu b.v. Avaldades võrduse vasaku poole b.vi. Viies võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks 20. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. a. Lõpmatute rajadega päratud integraalid Integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik, vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks. b. Päratu integraal poollõigul Olgu antud funktsioon f, mis on pidev poolõigul , mistõttu on ta pidev ka lõplikel lõikudel, kus , mistõttu eksisteerib iga korral.
Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul x af(t)dt = F(x) - F(a) . Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini (5.24). Teoreem on tõestatud. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Hindamisteoreemid Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st
Saame a b b b uv ¿ ba= vdu+ udv Viies vdu võrduse teisele poole, tultame ositi integreerimise valemi a a a määratud integraali jaoks b b udv=uv ¿ba - vdu a a 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 1.Päratu integraal poollõigul [ a , ). Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõpmatul poollõigul [ a , ) . Seega on f pidev ka kõigil a,b b> a . Järelikult eksisteerib määratud integraal lõplikel lõikudel ¿ ], kus b
Tuletada vastav valem. 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem. 45. Tuletada joone pikkuse valem.
19). Teisest küljest, valemi (5.19) paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraalsumma määratud integraalile Kokkuvõttes, piirporotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: (5.20) Lõpuks tuleme veel tagasi valemi (5.19) juurde. Nagu nägime, seisab selle Hindamisteoreemid paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristkülikute ühendi pindala. Valemit (5.19) saab kasutada määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 39 1. ba [f(x) ± g(x)]dx = ba f(x)dx ± ba g(x)dx. Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest NB
3. Päratu integraal tervel arvteljel (−∞, ∞). Eeldame, et f on pidev tervel arvteljel (−∞, ∞). Päratu integraal R ∞ −∞ f(x)dx defineeritakse valemiga Z ∞ −∞ f(x)dx = lima→∞ Z a −a f(x)dx Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Teoreem 5.5. Kui iga x ≥ a korral kehtivad võrratused 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ja integraal R ∞ a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal R ∞ a f(x)dx. Teoreem 5.6. Kui R ∞ a |f(x)|dx koondub, siis koondub ka R ∞ a f(x)dx. Näide. Hindame päratu integraali R ∞ 1 sin xdx x2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib võrratus ¯ ¯ ¯ ¯ sin x x 2¯¯¯¯≤1x2 Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest.
a.artusele a ja .ulemine raja on võrdne u väärtusega, mis vastab muutuja x väärtusele b. Seega on uue integraali alumine raja (a) ja ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: Tuletada ositi integreerimise valem maaratud integraali jaoks. 42. Defineerida lopmatute rajadega paratud integraalid. Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sonastada paratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida paratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte y = f1( x) ja y = f2( x) vahel asuva kujundi pindala valem.133 Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja .ulalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st 44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest poordkeha ruumala valem
annaabi.ee 
