Otsime ühte erilahendit kujul y = e x , siis saame (a 0 2 + a1 + a 2 ) e x = 0 . Seejuures karakteristlikul võrrandil a 0 + a1 + a 2 = 0 on üldjuhul kaks erinevat 2 lahendit - a1 + a12 - 4a 0 a 2 - a1 - a12 - 4a 0 a 2 1 = , 2 = . 2a 0 2a 0 Reaalarvuliste 1 ja 2 korral on KKLD erilahenditeks y1 = e 1 x ja y 2 = e 2 x . Kui a1 < 4a 0 a 2 , tekivad kaaskomplekssed karakteristlikud väärtused 2 1 = + i ja 2 = - i , 5 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken millele vastavad KKLD erilahendid ~ y1 = ex e i x ja ~
Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused.
elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud,
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1)...
dif.võrrand : y''+py'+qy=0 , p ja q on konkreetsed reaalarvud. Üldlahendi leidmiseks piisab kahe lineaarselt sõltumatu erilahendi leidmisest. y=ekx, kus k=const, siis y'=kekx, y''=k2ekx . Asendades need esimesse võrrandisse, same ekx (k2+pk+q)=0, kuna ekx 0, siis k2+pk+q=0. Viimast võrrandit nimetatakse karakteristlikuks võrrandiks. See on ruutvõrand, millel on kaks lahendit. Võimalikud on 3 juhtu: 1) Karakteristliku võrrandi lahendid on reaalsed ja erinevad : k1k2 . Erilahenditeks on funktsioonid y1=ek1x, y2=ek2x , need lahendid on lineaarselt sõltumatud, sest y2/y1const. Üldlahendil on kuju y=C1ek1x+C2ek2x 2) Karakteristliku võrrandi lahendid on komplekssed: k1=+i , k2= i, kus =-(p/2) , !! = - ! Erilahendi võib kirjutada kujul y1=e(+i)x, y2=e( - i)x. Üldlahendil on kuju y=C1excosx+C2 exsinx. Erijuht on see kui karakteristliku võrrandi lahendid on puhtimaginaarsed,
LVS-i u¨ldlahend on selline parameetritest s~ oltuv lahend, mis ra- huldab j¨argmist tingimust: parameetritele arvv¨ aa ¨rtuste omistami- se teel on v~oimalik saada antud LVS-i k~ oik lahendid. Lahendeid, mis saadakse u ¨ldlahendist parameetritele (k~ oigile v~oi osale neist) arvv¨ a¨artuste omistamise teel, nimetatakse LVS-i erilahenditeks. 6.2 Vabad tundmatud Osutub, et LVS-i u¨ldlahendi parameetreid saab valida tundmatute hulgast. Tundmatuid, mis on valitud u ¨ldlahendi parameetriteks, nimetatakse vabadeks tundmatuteks. LVS-i vabade tundmatute arvu (v. t. a.) leidmiseks v~ oib kasu- tada j¨argmist teoreemi. Teoreem 6. Koosk~ olalise LVS-i maatriksi astak v~ ordub tundma- tute arvu ja vabade tundmatute arvu vahega. IV. Lineaarv~ orrandisu
annaabi.ee 
