DEF: Funktsiooni h teatud formaalses keeles esitatud kirjeldusele vastavusse seatud unikaalset naturaalarvu Gh nimetatakse selle funktsiooni Gödeli numbriks. Teoreem: Kõik ühekohalised lihtrekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunktsioonidest s(n)=n+1 ja q(n)=n−⌊√n⌋2 („ruutjääk”), kasutades liitmise, kompositsiooni- ja iteratsioonioperaatorit. Teoreem: Kõik ühekohalised osalised rekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunkt- sioonidest s(n) = n+1 ja q(n) = n−⌊√n⌋2, kasutades liitmise, kompositsiooni- ja pööramisoperaatorit. DEF: Funktsioonile h vastavusse seatud naturaalarv Gh (tema Gödeli number) arvutatakse nii: 2, kui h=s (s(n)=n+1) 3, kui h=q (q(n)=n−⌊√n⌋2) 5Gf · 7Gg, kui h=f+g 11Gf · 13Gg, kui h=f◦g 17Gf, kui h=f -1 19Gf, kui h=ιf Turingi mõttes arvutatavad on vaid need ühekohalised funktsioonid, mille jaoks leidub Gödeli number. 23 Kleene' s-m-n teoreem.
st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. K¨aesolevas alamparagrahvis alustame p~ohiliste elementaarfunkt- sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C
st f (x1 ) < f (x2 ), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v~orratuse m¨ark muutub vastupidiseks, st f (x1 ) > f (x2 ), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t~ouseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. K¨aesolevas alamparagrahvis alustame p~ohiliste elementaarfunkt- sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C
Inglise keeles kasutatakse tu- letise jaoks väljendit "derivative" ja määramata integraali jaoks väljen- dit "antiderivative", mis on loomulikum, kui eesti keelne "integraal". Märkus 7.4 Funktsioonil f on olemas määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Teoreem 7.1 Igal vahemikus (a, b) pideval funktsioonil on olemas algfunktsioon selles vahemikus. 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunkt- sioonidest Konstantne funktsioon c dx = c x + C, cR Astmefunktsioonid x+1 x dx = + C, = -1 +1 x2 1 x dx = +C dx = ln |x| + C 2 x 1 1 1 - dx = + C dx = x + C
x 0 l~opmatult kahanev suurus. cos x + on t~okestatud suurus. Nende 2 korrutis on seega l~opmatult kahanev suurus, j¨arelikult lim y = 0, x0 18 st siinusfunktsioon on pidev kogu oma m¨a¨aramispiirkonnas. Niimoodi j¨atkates on v~oimalik n¨aidata, et k~oik p~ohilised elementaarfunkt- sioonid on oma m¨a¨aramispiirkonnas pidevad. Teoreem 9.1. Kui funktsioonid u = u(x) ja v = v(x) on pidevad punktis x, siis · summa u(x) + v(x) on pidev punktis x · vahe u(x) - v(x) on pidev punktis x · konstandi kordne cu(x) on pidev punktis x · korrutis u(x)v(x) on pidev punktis x u(x) · jagatis on pidev punktis x, kui v(x) = 0. v(x) · (Liitfunktsiooni y = f [(x)] pidevus). Kui u = (x) on pidev punktis
annaabi.ee 
