Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsioonil (lk.88 joonis) on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimeses kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f(a) = f(b) = f(c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed
nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (täpsemini: esimest järku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Näiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f 0 (a) = f 0 (b) = f 0 (c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f 0 (d) puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist
tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. (Täpsemini esimest järku kriitilisteks punktideks). b. Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum, siis on x selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus (Joonis) Funktsioonil on puntides a,b,c,d,e lokaalsed ektreemumid. Esimesed kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga. Graafiku puutujad on neis punktides horisontalsed. Seevastu neljandas ekstreemumupunktis ei ole graafik sile, seega tuletis puudub. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ektreemumit olla. Kõikvõimalikud kriitilise punkti juhud on kokku võetud joonisel. (Joonis). Võimalike kriitiliste punktide hulk on suurem kui võimalike ektreemumite hulk.
tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Teoreem 4.2 Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus.( l.90-92) Näiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f(a) = f(b) = f(c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4.2 vastupidine v.aide ei kehti.See t.ahendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla.
Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. (Täpsemini esimest järku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum, siis on x selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus (Joonis) Funktsioonil on puntides a,b,c,d,e lokaalsed ektreemumid. Esimesed kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumupunktis ei ole graafik sile, seega tuletis puudub. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ektreemumit olla. Võimalike kriitiliste punktide hulk on suurem kui võimalike ektreemumite hulk. Tingimus, et x on kriitiline punkt, on vaid tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Sellest tingimusest ei piisa
Saame f (x2 )-f (x1 ) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja pii- savad tingimused. Eespool §3.8 defineerisime funktsiooni lokaalse ekstreemumi. Uhtlasi ¨ t~oestasime Fermat' lemma, mis v¨aidab, et diferentseeriva funktsiooni tuletis on lokaalses ekstreemumpunktis v~ordne nulliga. K¨aesolevas paragrahvis vaatleme natuke u ¨ldisemat juhtu, kui funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. Niisiis: olgu funktsioonil f (x) punktis x1 lokaalne ekstreemum. Siis on kaks v~oimalust: kas f on diferentseeruv selles punktis (see t¨ahendab, et eksisteerib oplik tuletis f (x1 )) v~oi f ei ole diferentseeruv punktis x1 (so vastav l~oplik l~ tuletis puudub). Esimesel juhul kehtib Fermat' lemma p~ohjal v~ordus f (x1 ) = 0.
Saame f (x2 )-f (x1 ) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja pii- savad tingimused. ¨ Eespool §3.8 defineerisime funktsiooni lokaalse ekstreemumi. Uhtlasi t~oestasime Fermat' lemma, mis v¨aidab, et diferentseeriva funktsiooni tuletis on lokaalses ekstreemumpunktis v~ordne nulliga. K¨aesolevas paragrahvis vaatleme natuke u ¨ldisemat juhtu, kui funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. Niisiis: olgu funktsioonil f (x) punktis x1 lokaalne ekstreemum. Siis on kaks v~oimalust: kas f on diferentseeruv selles punktis (see t¨ahendab, et eksisteerib l~oplik tuletis f (x1 )) v~oi f ei ole diferentseeruv punktis x1 (so vastav l~oplik tuletis puudub). Esimesel juhul kehtib Fermat' lemma p~ohjal v~ordus f (x1 ) = 0.
T¨aistuletise valemist (6.22) saame, et dz z z dy = + . dx x y dx dy Asendades sellesse , saame dx dz = fx + fy - x . dx y dz Et ekstreemumpunktis = 0, siis dx x fx = fy . y Eeldades, et fy = 0 saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmi- seks v~orrandis¨ usteemi fx = x fy y (6.31)
annaabi.ee 
