Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem,
Statsionaarne punkt võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Öeldakse, et punkt P0 R on kriitiline punkt, kui ta on kas n 1) statsionaarne punkt; 2) vähemalt üks esimest järku osatuletis selles punktis ei eksisteeri või on ± lõpmatus. Teoreem: Funktsioonil f võib lokaalne ekstreemum olla vaid tema kriitilises punktis. Üheski kriitilises punktis ei pruugi leiduda lokaalset ekstreemumit. Lokaalseid ekstreemume saab leida alati definitsiooni abil kriitilisi punkte kontrollides. Teoreem: Olgu antud funktsioon f ( x, y , z ,...) , mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0. Leiame determinandid: A1 = f xx ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xz ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) A3 = f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) f yz ( P0 ) ...
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti u ¨mbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11. N¨aiteks joonisel 2.13 toodud funkt- sioon saavutab absoluutse miinumumi punktis a, kuid seal lokaalset miinimumi ei ole. P~ohjus on selles, et ei leidu lokaalse ekstreemumi definitsioonis n~outavat
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti u ¨mbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11. N¨aiteks joonisel 2.13 toodud funkt- sioon saavutab absoluutse miinumumi punktis a, kuid seal lokaalset miinimumi ei ole. P~ohjus on selles, et ei leidu lokaalse ekstreemumi definitsioonis n~outavat
me (funktsiooni suurim või väikseim väärtus vaadeldavas piirkonnas). Viimaste leidmiseks tuleb leida kõik lokaalsed ekstreemumid, kusjuu- res eraldi tuleb arvutada funktsiooni väärtused piirkonna otspunktides (kui tegemist on lõiguga) ning katkevuspunktides. Saadud suurim või väikseim väärtus ongi funktsiooni globaalseks ekstreemumiks. Kui ei ole eraldi rõhutatud, siis mõistame ekstreemumite all kõiki lokaal- seid ja globaalseid ekstreemume. Lause 6.1 Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv punktis x0 . Siis funktsioonil f on argumendi väärtusel x0 maksimum, kui f (x0 ) = 0 ja f (x0 ) < 0 ja funktsioonil f on argumendi väärtusel x0 miinimum, kui f (x0 ) = 0 ja f (x0 ) > 0. 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis igas punktis P = (x, f (x)) on joonel y = f (x) olemas puutuja. Definitsioon 6.5
annaabi.ee 
