funktsionaaldeterminant, ülemineku valemid ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele ja sfäärikoordinaatidele). Koordinaatide teisendamis valem: f ( x, y, z )dxdydz = f [ (u, t , w), (u, t , w), (u, t , w)] I dudtdw V V Funktionaaldeterminant: x x x u v w y y y I= u v w z z z u v w Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele: f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z) dddz V V Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele: f ( x, y, z )dxdydz = ( cos sin , sin sin , cos ) sinddd 2 V V
x x x z - sin cos 0 - sin cos J = y y y z = cos sin 0= = - sin 2 cos 2 = - cos sin z z z z 0 0 1 J=-= f ( x; y; z )dxdydz = f ( cos ; sin ; z ) dddz V Kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (joon) P(; ; r); sin=OP/r (OPP) OP=rsin; cos=x/OP x=OPcos=rcos sin sin =y/OP ( y=OPsin x = r cos sin =rsin sin ); Q cos =z/r ( z=rcos). y = r sin sin z = r cos
. , , x=cos, y=sin, z=z L, . M . u1+u2+u3+...+un+..., (1) v1+v2+v3+ i =1 N. , - X(x,y) Y(x,y) ...+vn+... (2) . f ( x, y, z )dxdydz = F V (, , z ) dddz D. V , M N . (1) . (2), .. u nvn (n=1,2, ...) (2) , (1)
piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse f(x,y)dS. Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi) ja c [0, pi). Lühidalt f(x,y)dS = f(P)dS = fdS, st f(P)dS := lim(max dj0) f(Pj)Sj, kus f(Pj) = f(xj,yj). Kui eksisteerib fdS, siis öeldakse, f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos sin , sin sin , cos ) 2sin dddz. et funktsiooni on integreeruv piirkonnas D ja tähistatakse f C I(D). F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem.
ja y kõituvad konstantidena. Saadav funktsioon integreeritakse muutuja y järgi ja x käitub konstandina. Saadav x-i funktsioon integreeritakse lõpuks muutuja x järgi konstantsetes rajades a ja b. Kui int.piirk. on silinder või tema osa, silindri moodustaja on z-teljega, siis minnakse üle silindrilistele koordinaatidele (r, , z ). Üleminekuvalemid: x = cos , y = sin , z=z, J= >0 f ( x, y, z )dxdydz = f ( sos , sin , z) dddz D Kui int.piirk. on sfäär või tema osa, siis minnakse üle sfäärilistele koordinaatidele ( , , ) .r- punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist. Üleminekuvalemid: x = r sin cos , y = r sin sin , z = cos , J = r 2 sin f ( x, y, z )dxdydz = f (r sin sos , r sin sin , r cos )r sin drdd 2
Punkti P(x,y,z) silinderkoordinaatideks nimetatakse arvukolmikut , ja z, kus ja on punkti P projektsiooni polaarkoordinaadid xy- tasandil ja z on punkti P kaugus xy-tasandist. x=cos x'=cos x'=-sin xz'=0 y=sin y'=sin y'=cos yz'=0 z=z z'=0 z'=0 zz'=1 cos - sin 0 J ( , , z ) = sin cos 0 = Seega z 0 1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z ) dddz V V' Punkti P(x,y,z)R sfäärkoordinaadid ruumis alguspunktiga O on , ja , kus =| 3 OP|, - on punkti P projektsiooni polaarnurk xy-tasandil ja 0 on vektori OP ja z-telje vaheline nurk. x=cossin x'=cossin x'=-sinsin x'=coscos y=sinsin y'=sinsin y'=cossin y'=sincos z=cos z'=cos z'=0 z'=-sin Olgu piirkonnas V paiknevatele punktidele vastavate sfäärkoordinaatide hulk V'.
annaabi.ee 
