1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim
funktsiooni f(x) ennast. N. Seejärel diferentseerin(võtan tuletise) mõlemaid pooli Võib tuua veel näiteid, nagu nt (2x ln ja siis dife, kerge tegelt) 1.12.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 1. C'=0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d 2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. Näited: leian nt (3) tuletise . Leian leides algul (3) ja siis tõesta mat. Induktsiooniga. Parameetriline leida 2. Tuletis. Tulemus: Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil: Tõestus
pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis. Kui funktsioon z = f (x; y) on diferentseeruv punktis P(x; y), siis funktsioon f on pidev selles punktis. Suurust df := fx (x; y)dx + fy (x; y)dy; kus dx := x ja dy := y, nimetatakse funktsiooni f (x; y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d2f=d(df) nim teist järku täisdif. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;...... ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);.... ; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); ...; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; ... ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);....
Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,...,xn) vastav funkts-i muut on u=f/x1(A)x1+...+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures
defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks. Hulka U(P) = {Q Rn|d(P,Q) < } nimetatakse punkti P Rn -ümbruseks. Arvu c nimetatakse funktsiooni u = f(x1,...,xn) Suurust d2f := d(df) nimetatakse funktsiooni f teist järku täisdiferentsiaaliks. piirväätuseks punktis A(a1,...,an), kui iga > 0 korral leidub selline > 0, et iga P U(A), kus P <>A, korral |f(P) - c| < (f(P) Funktsiooni f r-järku täisdiferentsiaaliks nimetatakse täisdiferentsiaali funktsiooni (r-1)-järku täisdiferentsiaalist ja tähistatakse U(c)). Kasutatakse tähistust lim f(P)=c
annaabi.ee 
