Kahe sirge lõikumine Kattuvad: s t BA Sirged on paralleelsed: s t BA Sirged lõikuvad: s t D= 0 Sirged on lõikuvad ja risti: t s = 0 Kiivsirged: s t D 0 Sirged on kiivsed ja risti: t s = 0 6. On antud sirged s = ( 3; 2; 4) B(5; 1; 4) t = ( -9; 4; 0) A( -7; 3; 8) BA = ( -12; 2; 4) = 0 Sirged lõikuvad. Leian lõikepunkti koordinaadid: Lõikumise hetkel on mõlema sirge koordinaadid võrdsed. s = -1 t = -1 L( 2; -1; 8) Tasandite lõikumine A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Ühtivad: n m Paralleelsed: Lõikuvad: m n Risti: m n m n m n = 0 7. Olgu antud 2 tasandit : 2x 3y + 2z = 0 ja : 5x 2y 8z + 5 = 0 m = ( 2; -3; 2 ) n = ( 5; -2; -8) m n = 0 Tasandid lõikuvad ja on risti. Toon sisse lõikesirge muutuva punkti. P0( x; y; z ) z = t 5 I 2 II : -11y = -26t + 15 2 I 3 II : -11x = -28t + 17 z = t Punkti kaugus tasandist
Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori .
cosfi S-rööpkül pindala cosfi=h/|z|=>h|Z|cosfi 2)Kolme vektori korrutise segekorrutise absväärtus on
võrdne nende vektoritele ehitatud rööpk ruumalaga V=|(x,y,z)| 3)Kolme vek segakor on võrd 0ga
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
Sellisel juhul suunavektoriks on M 1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . Võtame etteantud punktiks M 1 : x x1 y y1 z z1 . x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 SIRGE KUI TASANDITE LÕIKEJOON Sirget ruumis võib vaadelda kui kahte mitteparalleelse tasandi A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0 lõikejoont. Sirge üldvõrrandid ruumis: A1x B1 y C1z D1 0 . A2 x B2 y C2 z D2 0 Näide: Koostada kanoonilised võrrandid sirgele, mis on antud oma üldvõrranditega 2x 5 y z 4 0 . x 2y z 2 0 Kaks lahendusviisi, kas sihivektori ja ühe punkti kaudu või kahe punkti kaudu. n1 2, 5, 1 n2 1, 2, 1 5 1 1 2 2 5
a) 3 0 0 =2 b) 4 2 3 3 2 3 c) 4 4 6 =0 võrrandit. Sellise võrrandisüsteemi üldkuju on: 5 0 0 4 3 2 4 3 2 5 5 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 a1 x + b1 y + c1z = d1 d) 4 0 2 = 2· 2 0 1 e) 4 5 6 1 2 3 a2 x + b2 y + c2 z = d2 (*) a x + b y + c z = d . 1 1 3 1 1 3 1 3 4 1 3 4 3 3 3 3 485. Leia a väärtus nii, et kehtiks võrdus
Märkus: kui D = 0, Dx ≠ 0 ja Dy ≠ 0, siis on võrrandisüsteemil lahendeid ei ole. © Allar Veelmaa 2014 9 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE DETERMINANTIDE ABIL Lahendame determinantide abil kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi a1x b1y c1z d1 a2 x b2y c2 z d2 a3x b3y c3z d3 Tuleb arvutada neli determinanti D, Dx, Dy ja Dz, kus a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 c1 D = a2 b2 c2 Dx = d2 b2 c2 Dy = a2 d2 c2 ja Dz = a2 b2 c2 ning a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 c3 võrrandisüsteemi lahend on Dx Dy D
annaabi.ee 
