Ly = p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y Siis võrrandi p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pny = f(x) võime lühidalt kirjutada Ly = f (1) ning vastav homogeenne võrrand on kujul Ly = 0. (1h) Omadus 1: Kui y1, y2, ..., yn on võrrandi (1h) lahendid, siis on ka y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn võrrandi (1h) lahend. Tõestuseks on vaja näidata, et kui Ly1≡0, ..., Lyn≡0, siis L(C1y1+...+Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)=C1Ly1+C2Ly2+...+CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus 2: Kui y1, y2, ..., yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn + y* on (1) lahend. Tõestus on vaja näidata, et Ly≡f. Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin. mittehom
1) + ... + p ny = f(x) ** lühidalt Ly = f (1) ** ning vastav homogeenne võrrand on kujul Ly = 0. (1 h) ***Omadus 1: Kui y1, y2, ..., yn on võrrandi (1 h) lahendid, siis on ka y = C 1y1 + C 2y2 + ... + C nyn **võrrandi (1h) lahend. **C1,C2,Cn-konst**Et y1,y2,yn on Ly=0 lahendid, ss (Ly1;Ly2;Lyn)=0 **Tõestuseks on vaja näidata, et kui Ly10, ..., Lyn0, siis L(C 1y1+... +Cnyn)0. **Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C 2y2)+...+L(C nyn)=C1Ly1+C2Ly2+...+CnLyn=C1*0+...+Cn*0=0 (Tõest). ***Omadus 2: Kui y1, y2, ..., yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y = C 1y1 + C 2y2 + ... + C nyn + y* on (1) lahend. **Tõestus on vaja näidata, et Lyf. **Ly=L(C1y1+C2y2+...+Cnyn+Y*)= L(C 1y1+C2y2+...+Cnyn)+Ly*=f+0=f (Tõest)n***Omadus 3: Olgu f=f1+f2. Kui y1 on võrrandi Ly=f1 lahend ja y2 on võrrandi Ly=f2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend. **Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f
1) +..+pn(x)y2=Ly1+Ly2. Lahendite vahelised seosed-seame igale vahemikus (a;b) n-korda pidevalt diferentseeruvad fn y=y(x) vastavusse fn Ly järgmisse eeskirja. Siis saame lineaarse DV p 0(x)y(n)+p1(x)y(n-1)+... +pny=f(x) lühidalt kirjutada Ly=f (1) ning vastav homogeenne võrrand on siis kujul Ly=0 (1 h) Omadus1:Kui y1,y2,...,yn on võrrandi(1h) lahendid,siis on ka y=C 1y1+C2y2+...+Cnyn võrrandi(1h) lahend.Tõestuseks on vaja näidata,et kui Ly1≡0,...,Lyn≡0,siis L(C1y1+...+ Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)= C1Ly1+C2Ly2+...+ CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus2:Kui y1,y2,...,yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y=C1y1+C2y2+...+Cnyn+y* on (1) lahend.Tõestus on vaja näidata,et Ly≡f. Ly= L(C 1y1+C2y2+... +Cnyn+Y*)=Lyhom+Ly*=0+Ly*, Ly*=f eelduse põhjal lin.mittehom.DV lahend. Eelduste kohaselt L(C 1y1+C2y2+... +Cnyn)≡0,Ly*=f,siis L aditiivsuse tõttu L(y hom+y*)=Lyhom+Ly*= 0+Ly*=f.Omadus3:Olgu f=f1+f2.Kui y1 on
dy/dx=y'=dp/dy= p *dp/dy * I abiül: as p* dp/dy=f(y,p) I järku Dv p=p(y) määramiseks *üldlah p= (y,C1) *as y'= (y,C1) I järku dv y=y(x) määramiseks (E) *II abiül: eraldame muutujuad: dy/dx= (y,C1) | dx/ (y,C1)- dy > (E) dy/ (y,C1)=dx *Int ( y, C = x + C 2 üldint 1 ) 47. Lineaarne II järku DV Y''+p(x)y'+g(x)y=f(x) (LII) ; (HL) y''+p(x)y'+g(x)y=0, y=y 1(x), y=y2(x) (HL) lah => y=C1y1+C2y2 *Def Lah-d y1 ja y2 on sõltumatud=> y1/y2 const; lah on sõltuvad y1/y2=const. *Lause Kui (HL) lahendid y1 ja y2 on sõltumatud=> (HL) võrrandi üldlah: yHÜ=C1y1+C2y2 *Järeldus: Selleks, et saada (HL) üldlahendit tasub leida lahendid y1 ja y2: (MHLII) f(x) 0=> yMHÜ=? *Lause yMHÜ=yMHE+yHÜ=> yMHE=? Mittehom võrrandi üldlah on võrdne mhom erilah ja hom üldlah summaga *Eeldused: *YMHE: y''MHE +p(x)y' MHE +g(x)yMHE =f(x) *y1: y1''+p(x)y1'+g(x)y1=0 *y2: y2''+p(x)y2'+g(x)y2=0
Homogeensuse aste võib olla suvaline reaalarv. Vaatleme lineaarset homogeenset n-järku võrrandit y^n + Muutujavahetus kordses integraalis. Leida jakobiaan sfäärkoordinaadite korral. p1y^(n-1) + ... + pny = 0 mille kordajad p1,...pn on konstandid(reaalarvud). Selle võrrandi üldlahend avaldub kujul y = c1y1(x) Algus sama küsimusega 11 kuni üleminek polaarkoodrinaatidele kirjuta sama. + ... + cnyn(x), kus y1(x), ... , yn(x) on võrrandi lahendite fundamentaalsüsteem(s.o. n lineaarselt sõltumatut lahendit). Vaatleme x = pcos sin lineaarset mittehomogeenset võrrandit y^n + p1y^(n-1) + ..
annaabi.ee 
