On rekursiivselt loenduv (RL) Millised neljast omadusest: on rekursiivne on rekursiivselt loenduv omab rekursiivst täiendit omab rekursiivselt loenduvat täiendit on antud hulkade põhjal 1. A = {x | x on paarisarv} 2. B = {x | x on väiksem kui 100} 3. C = {x | x on algarv} 4. D = {x | Wx on tühi} 5. E = {x | Wx sisaldab vähemalt 3 elementi} Lahendus Alusteooria Hulk on rekursiivselt invariantne, kui iga bijektiivse ja rekursiivse junktsiooni f korral, kui hulgal A on omadus P, siis ka hulgal f (a) on omadus P. 1 , kui x A Hulk A on rekursiivne, kui tal leidub karakteristlik funktsioon Xa x . 0 , kui x A Hulk A on rekursiivselt loenduv, kui A või leidub totaalne arvutataf funktsioon f , nii et A range f .
Bijektiivne funktsioon : on siis selline paaride hulk, kus 1. iga jaoks leidub parajasti üks paar, milles on esimene komponent, 2. iga jaoks leidub parajasti üks paar, milles on teine komponent. Bijektiivseid funktsioone nimetatakse ka üksühesteks vastavusteks hulkade ja elementide vahel (või lihtsalt hulkade ja vahel). Näiteid üksüheste vastavuste kohta. 1. Olgu = {1,2,3,4,5} ja = {,,,,}. Nende hulkade elemendid saame seada üksühesesse vastavusse näiteks paaride hulga (bijektiivse funktsiooni) ={(1,),(2,),(3,), (4,),(5,)} abil, s.t. (1)=,(2)=,... ,(5)=. Pöödfunktsioon Bijektiivse funktsiooni : pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni -1: , mis seab igale vastavusse sellise elemendi , mille korral ()=. Seega, pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on ja muutu-mispiirkonnaks . Pöördfunktsiooni tähistatakse =-1(), kuid selle asemel kasutatakse pigem kuju =-1() (vahetatakse sõltuva ja sõltumatu muutuja tähistused).
Funktsiooni kompositsioon Funktsioonide f : A B ja g : B C kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni gf : A C, mis defineeritakse tingimusega. · Kompositsioon on assotsiatiivne: h(gf ) = (hg)f . · Kui f ja g on injektiivsed (sürjektiivsed, bijektiivsed), siis gf on injektiivne (sürjektiivne, bijektiivne). Funktsiooni pöördfunktsioon Bijektiivse funktsiooni f : A B pöördfunktsioon on funktsioon f -1 : B A seab igale elemendile y B vastavusse selle elemendi x A, mille korral f (x) = y. St f -1(y) = x y = f (x). · Kui funktsioonide f : A B ja g : B A puhul gf = I ja fg = I , siis leidub f -1 ja f -1 = g. · Kui funktsioonil f : A B leidub pöördfunktsioon f -1, siis ka funktsioonil f -1 leidub pöördfunktsioon ja (f -1)-1 = f .
x1, x2 X, x1 x2, korral f(x1) f(x2) (erinevad elemendid teisenevad erinevateks elementideks). b. Funktsiooni f : X Y nimetatakse sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui f(X) = Y ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub originaal. c. Funktsiooni f : X Y nimetatakse bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui ta on injektiivne ja sürjektiivne ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub parajasti üks originaal. d. Bijektiivse funktsiooni f : X Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f -1 : Y X, mis seab igale y Y vastavusse sellise elemendi x X, mille korral f(x) = y. 21) Relatsioonide esitusviisid: a. Loend: definitsiooni järgi on relatsioon paaride hulk. Kui see hulk on lõplik, siis saab teda esitada elementide (so paarida) loendina. Nt, vaatleme neljaelemendilisel hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud relatsiooni R, mis kehtib
jaoks leidub selline x∈X, et f(x) = y o Sürjektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub vähemalt üks originaal Bijektiivne funktsioon o DEF: Funktsiooni f : X→Y nimetatakse bijektiivseks, kui funktsioon on injektiivne ja sürjektiivne. o Bijektiivsus tähendab, et igal hulga Y elemendil leidub täpselt üks originaal Pöördfunktsiooni mõiste 17 o DEF: Bijektiivse funktsiooni f : X→Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f 1: Y→X, mis seab igale y∈Y vastavusse sellise elemendi x∈X, mille korral f(x) = y. BINAARSED RELATSIOONID 21. Binaarse relatsiooni definitsioon. Näited. [2] Binaarne relatsioon o DEF: Binaarseks relatsiooniks e. seoseks hulkade X ja Y elementide vahel nimetatakse nende hulkade otsekorrutise suvalist alamhulka R ⊆ XY. Näited o Näide 1
Nüüd f sürjektiivsuse tõttu leidub x X nii, et f (x)= y . Seega (g · f )( x)=g(f ( x ))=g ( y )=z , mis ütleb, et g·f on sürjektiivne. Järeldus Kui f : X Y ja g :Y Z on bijektiivsed, siis ka gf : XZ on bijektiivne. Definitsioon Olgu X ja Y hulgad. Bijektiivse funktsiooni f :X Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f -1 :Y X , mis seab igale yY vastavusse täpselt ühe elemendi x X , mille korral f ( x)= y . Paneme tähele, et kui f -1 :Y X on funktsiooni f : X Y pöördfunktsioon, siis iga x X ja iga yY korral kehtib
1 6 (n ∈ N) , sin x2 siis rahuldab ka jada (uk ) lause 6.27 eeldusi. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 153 6.4 Ridade ümberjärjestused Olgu (mk ) selline naturaalarvude jada, milles iga n ∈ N esineb täpselt üks kord. Teiste sõnadega, jada (mk ) saadakse mingi bijektiivse teisenduse σ : N → N, k 7→ mk rakendamisel. ∞ ∞ Rida umk nimetatakse esialgse rea uk ümberjärjestuseks. P P k=1 k=1 ∞ Definitsioon. Rida uk nimetatakse tingimatult koonduvaks (unconditionally, безусловно), P k=1
annaabi.ee 
