ARVUHULKADE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks. 1) 2,3(56) ...
(2½=2+½) kümnendmurd - murd, mis on kirjutatud koma abil (3,75=3+7/10+5/100 Jätk järgmisel slaidil Arvuhulgad ● Pöördarvud (a ja 1/a) Vastandarvud (a ja -a) lõplik kümnendmurd (¾=0,75) lõpmatu kümnendmurd (17/6=2,8333....=2,8(3) Arvu, mis avaldub mitteperioodilise kümnend- murruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, misavaldub jagatisena a/b. Arvuhulkade omadusi ● Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või aArvuhulkade omadused
ja b 0.
· Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
· Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
· Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
· Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna,
siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6
negatiivne kümnendmurd. 3. Ratsionaalarvudeks nimetatakse murde a/b kus a ja b on täisarvud ning b¹0. Ratsionaalarvude hulga tähiseks on Q. Ratsionaalarvud on näiteks (1/4=0,25 ehk lõplik kümnendmurd; 1/3=0,333... ehk lõpmatu perioodiline kümnendmurd). 4. Irratsionaalarvudeks nimetatakse arve, mis avalduvad lõpmatute mitteperiooodiliste kümnendmurdudena. Irratsionaalarvude hulga tähiseks on I. Irratsionaalarvudeks on näiteks (=3,14159265...; ; ). Arvuhulkade seotus: Kasutatud materjalid: 1.http://enos.itcollege.ee/~areinas/Matemaatiline%20anal%FC%FCs/Arvuhulgad %5B1%5D.ppt 2. http://et.wikipedia.org/wiki/Naturaalarv 3. http://www.kke.ee/index_bin.php?action=REF&fname=517_M_7_1-7.pdf 4. http://10klass.weebly.com/uploads/1/4/6/0/1460270/ratsionaalarvud.pdf 5. http://wapedia.mobi/et/Ratsionaalarvud 6. http://wapedia.mobi/et/Irratsionaalarvud 7. Lea Lepmann; Tiit Lepmann; Kalle Velsker. 2000. Matemaatika 10.klassile ( lk 3-12).
kümnendmurruna. Reaalarvude hulk R 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3. On hulk, mis on kinnise liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või ab. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a + 1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral
a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve.
elemendid kuuluvad ka hulka B. Tähistatakse A B või B A. Ülemhulk: Hulka B nimetatakse hulga A ülemhulgaks, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks, kui hulk A on hulga B alamhulk ja AB. Hulgal {a, b} on järgmised alamhulgad: , {a}, {b}, {a, b}. Üldiselt, kui hulgas on n elementi, siis hulgal on 2n alamhulka. Tühi hulk on iga hulga alamhulk (sealhulgas ka tühja hulga enda). Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused N Z Q R C. Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA
· Tehetega seotud omadused kehtivad 4. Reaalarvude hulga omadused- · On järjestatud · Vahetu järgnevuse omadust pole · On tihe · On pidev (Milline on kõige suurem ühest väiksem arv?) · Kinnine kõigi nelja põhitehte suhtes väljaarvatud nulliga jagamine. Ka ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust jääb reaalarvuks. Kuid kinnine juurimise suhtes ei ole · Tehetega seotud omadused kehtivad. 5. Arvuhulkade vahelised kuuluvusseosed- · Iga naturaalarv on ühtlasi täisarv · Mõned täisarvud ei ole naturaalarvud · Iga täisarv on ratsionaalarv · Iga ratsionaalarv pole täisarv · Mõni ratsionaalarv on naturaalarv · Iga naturaalarv on ratsionaalarv 6. Lineaarfunktsiooni graafik, omadused · Funktsiooni, mis avaldub kujul y=ax+b, nimetatakse lineaarfunktsiooniks. · Uurime graafikut (X;Y; kasvamine, kahanemine, a ja b tähendus).
Kuna 1 on tühihulk siis transitiivsuse omaduse tõttu 1 2. Samuti selle sama omaduse tõttu 2 1. Ja Antisümmeetrilisuse omaduse põhjal need tühjad hulgad on võrdsed ehk see näitab ära, et tühjad hulgad on üheselt määratud. Pärisosahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A B. Näide: 1. Kui S = {4, 5, 7} ja T = {3, 4, 5, 6, 7}, siis S T. 2. Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused . 3. Kui a < b, siis (a, b) (a, b] [a, b]. Kõigi osahulkade hulk Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt P( A)={ X X A }. Ülesanne: Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |(A)|. 1. A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause
korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keeru- lisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline – kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab pike- malt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78]. 22 Mis on matemaatika? matemaatika meie ümber Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öel- dud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud ranged reeglid nen- dega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid alati väänata
annaabi.ee 
