-3 -2 -1 0 1 1,5 2 3 |3| = 3 |-3| = -(-3) = 3 |-2| = -(-2) = 2 |1,5| = 1,5 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Vastandarvud Arvud a ja a on teineteise vastandarvud. Näiteks arvu 10 vastandarvuks -10, arvu 15 vastandarvuks on (-15) = 15. Vastandarvud asetsevad arvsirgel nullpunktist ühekaugusel, teine teisel pool. Seega on vastandarvudel võrdsed absoluutväärtused: | a | = | a | Positiivse arvu või nulli absoluutväärtuseks on see arv ise, negatiivse arvu absoluutväärtuseks aga selle arvu vastandarv (sama arv ilma miinusmärgita). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Absoluutväärtusi sisaldava avaldise väärtuse leidmine
Täisarve kujutatakse arvteljel punktidena, kusjuures positiivne täisarv n ja negatiivne täisarv n kujutatakse sümmeetrilistena 0-punkti suhtes. Arve n ja n nim. teineteise vastandarvudeks. -n -1 0 1 n Negatiivsed täisarvud. Null. Positiivsed täisarvud. Täisarvude hulk Z. Kahest täisarvust loetakse suuremaks see, mille vastav punkt asub arvsirgel teistega võrreldes positiivses suunas. Täisarvude hulga omadusi: · Täisarvude hulk Z on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Täisarvude hulk Z on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Täisarvude hulk Z on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, s.t. kahe täisarvu liitmisel, lahutamisel ja korrutamisel saame alati täisarvu. RATSIONAALARVUD
ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas. 3 Täisarvud Täiendades naturaalarvude hulka negatiivsete täisarvudega -1, -2, -3, ..., saame täisarvude hulga. Arvud -1 ja 1, -2 ja 2 üldiselt +n ja -n on teineteise vastand- arvud; neid võib kujutada sümmeetriliste punktidena arvsirgel. -n -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +n Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; võrrandil b·x = a, kus a ja b on täisarvud, täisarvulist lahendit üldiselt ei ole. 4 Ratsionaalarvud Ratsionaalarvud koosnevad murdudest a/b, kus a ja b on täisarvud ning b 0. Näiteks: 4/5, -7/6, 0/1.
Funktsioon f (x) = x2 on pidev kohal 2, sest lim x 2 = 4 = f (2). x2 Näide 2. sin x Funktsioon f ( x) = ei ole pidev kohal 0, sest x pole täidetud tingimus 1 (s.t. 0 X). 16 Piirkonnas pidev funktsioon Funktsiooni nim. pidevaks piirkonnas X, kui ta on pidev piirkonna X igas punktis. Kui funktsioonil on mingi omadus kogu arvsirgel, siis öeldakse, et see omadus kehtib kõikjal. Öeldakse, et funktsioon on paremalt pidev kohal a, kui lim f ( x) = f (a ) xa + ja vasakult pidev kohal a, kui lim f ( x) = f (a ) xa - Teoreem. Funktsioon on pidev punktis a siis ja ainult siis kui ta on punktis a vasakult pidev ja paremalt pidev. 17 Funktsiooni pidevus y
a0 osasumma, st. kui 0 = , n = a n , n = bn . 2 30 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §7. FOURIER' INTEGRAAL Def. Öeldakse, et funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, kui päratu integraal f (x ) dx on koonduv. - Def. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, siis integraali [a( y )cos yx + b( y )sin yx]dy , 0 (10) kus
7. Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. Teoreem 6. 1. Kui on lõplik tähestik {1,2,3,...,}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. 2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv. 3. Kui on loenduv tähestik {1,2,3,...}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. Mitteloenduvad hulgad. Kontiinumi võimsusega hulgad Vahemik (0,1) ei ole loenduv hulk. Iga vahemik (,) arvsirgel on ekvivalentne vahemikuga (0,1) ja seega on mitteloenduv. Tõestus. Tõestamiseks on hea kasutada nn projekteerimist, mis annab bijektsiooni : (,)(0,1) või bijektsiooni -1: (0,1)(,). Hulka, mis on ekvivalentne vahemikuga (0,1) nimetatakse kontiinumi võimsusega hulgaks. (Lad. k. continuum pidev, katkematult jätkuv). Niisiis, hulk ja kõik vahemikud ning ka lõigud [,], kus <, on kontiinumi võimsusega. Kui ja on vastavalt kõigi ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulgad, siis =. Et on
mille baasil saadud hinnangud on aga alati ligikaudsed. Satistilised hinnangud jagunevad oma olemuselt kahte liiki: punkthinnangud ja vahemikhinnangud e. intervallhinnangud. Kuna hinnang on oma olemuselt juhuslik suurus, siis hinnangu võimalikud väärtused saavad asetseda teatud vahemikus ehk hinnangu määramispiirkonnas. Hinnang, mis kujutab endast selle juhusliku suuruse ühte konkreetset väärtust on punkthinnang (kujutab arvsirgel ühte punkti). Punkthinnangu ülesandeks on määrata kindlaks arvkarakteristik (arvväärtus).Punkthinnang on kõige enam kasutamist leidnud statistilise hinnagu liigiks. Punkthinnangu puuduseks on asjaolu, et saadud hinnang võib osutuda vigaseks. Seega ka kõik järeldused ja punkthinnangu alusel tehtud analüüsid võivas osutuda ekslikeks.Teiseks hinnangu liigiks on vahemikhinnangud. Vahemikhinnang kujutab endast hinnangu määramispiirkonnas teatud vahemikku.
3 3 3 30 Seega kõigi võrratust x - 2 = rahuldavate x väärtuste puhul erineb funktsiooni 3x + 1 3 väärtus arvust 7 vähem kui võrra, olgu milline tahes. 2. Tõestada, et funktsioon on pidev antud piirkonnas. Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas X, kui ta on pidev piirkonnas X igas punktis. Kui funktsioonil on mingi omadus kogu arvsirgel, siis öeldakse, et see omadus kehtib kõikjal. Öeldakse, et funktsioon on paremalt pidev kohal a, kui lim f ( x) = f ( x) ja vasakult pidev kohal a, kui lim f ( x) = f ( x) . x a + x a - 3. Põhjendada, miks funktsioon on pidev/ei ole pidev antud piirkonnas. 4. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis. 5. Avaldada antud funktsiooni n-järku tuletis.
Arvust võibki näiteks mõelda kui õunavõlast vanemale vennale... Sellega, et negatiivsed arvud on täiesti mõistlikud ja isegi loomulikud, lepiti aga alles 19. sajandil. Enne seda kutsuti neid küll absurdseteks, küll räpasteks ja tihti keelduti nendega igasugusest läbikäimisest. Tegelikult on ju negatiivsete arvudega siiski toredam ja ilusamgi – nende abil ei jää arvsirge poolikuks, vaid on kenasti alguse ja lõputa. Arvude liitmisest ja lahutamisest võimegi mõelda kui arvsirgel paremale või vase- male poole liikumisest – liites neli, liigume neli sammu paremale; lahutades seitse, seitse sammu vasemale. Kõiki täisarve võime omavahel liita ja lahutada ning alati jälle vastuseks täisarvu saada. Täisarvude hulka tähistatakse -iga. Ratsionaalarvud Ometigi ei paku ka täisarvud veel täit rahulolu! Tõepoolest, lihtne on võrdselt jagada kuus õuna kolme sõbra vahel – annad kõigile kaks. Ent kuidas võrdselt jagada üht
annaabi.ee 
