Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui f''(x) > 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a,b). 2. Kui f''(x) < 0 iga x (a,b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a,b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨a¨anupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asu¨mptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Vertikaalasümptoot
anupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨ a¨anupunktiks. 93 N¨aiteks joonise 4.2 graafikutel 5 - 8 on k¨a¨anupunktid. T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5
anupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨ a¨anupunktiks. 93 N¨aiteks joonise 4.2 graafikutel 5 - 8 on k¨a¨anupunktid. T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5 v¨
~ funktsiooni graafik on nogus hulga X igas punktis. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 13 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Ka¨ anupunktid ¨ Definitsioon ¨ Oeldakse, ¨ et punkt a (tapsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku ka¨ anupunkt ¨ , kui leidub selline > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus ~ ~ nogus hulgal (a, a + ) voi ~ hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 14 / 16
ja punkt on k~orgemal kui graafiku punkt. Definitsiooni kohaselt on graafik kumer. Analoogilise viisil t~oestatakse. Teoreem 2. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) > 0 piirkonnas X, siis on funkt- siooni graafik selles piirkonnas n~ogus. Teoreem 3. Kui f (x0 ) = 0 v~oi f (x0 ) ei eksisteeri ja f (x) muu- dab punktis x0 m¨arki, siis on funktsiooni graafikul punktis abstsissiga x0 k¨a¨anupunkt. 2 N¨aide. Leiame funktsiooni y = e-x graafiku kumerus- ja n~ogususpiir- konnad ning k¨a¨anupunktid. 2 2 2 2 Leiame y = -2xe-x ja y = -2e-x + 4x2 e-x = 2e-x (2x2 - 1). 2 Et 2e-x > 0, saame teise tuletise nullkohad v~orrandist 2x2 - 1 = 0, 1 1 millest x1 = - ja x2 = . 2 2
annaabi.ee 
