LINEAARVÕRRANDISÜSTEEM: Lineaarvõrrandisüsteem - Võrrandisüsteemi a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, ......................, (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai, ......................, am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am, kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i Nm, j Nn ja vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui
või kiirega · Puuduvad lahendid pole rahuldatud kõiki kitsendusi, piirkond on tühihulk, ülesanne on piiramata Duaalne planeerimisülesanne: Olgu antud esialgne ülesanne max-põhikujul: z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c max a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a21x1 + a22 x2 + ... + a 2 n xn b2 ... ... ... ... ... am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm x1 0, x 2 0, , ... , x n 0 Vastav duaalne ülesanne on: w = b1 y1 + b2 y 2 +...+ bm y m + c min a11y1 + a21y2 + ... + am1ym c1 a12 y1 + a22 y2 + ... + am2 ym c2 ... ... ... ... ... a1n y1 + a2 n y2 + ... + amn ym cn y1 0, y2 0, , ..., ym 0 Duaalse ülesande lahendamine: 1
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.
Ta on alati regulaarmaatriks ja seega leidub tal pöördmaatriks A-1n×n ning x´n×1 = ( A-1n×n)Txn×1. LINEAARSED VÕRRANDISÜSTEEMID DEFINITSIOON 1. Tundmatuid x1, x2, . . . , xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nimetatakse LINEAARSETEKS. Süsteemi m lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . .
Ta on alati regulaarmaatriks ja seega leidub tal pöördmaatriks A-1n×n ning x´n×1 = ( A-1n×n)Txn×1. LINEAARSED VÕRRANDISÜSTEEMID DEFINITSIOON 1. Tundmatuid x1, x2, . . . , xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nimetatakse LINEAARSETEKS. Süsteemi m lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, ......................... (1) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG Bm×1 = (b1, . . . , bm )T, nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1). Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . .
summaarne vedude maksumus zàmin. x11 vedu I ladu II kauplus. Jne z= x11+4x12+2x13+3x21+5x22+x23 à min x11+x12+x13 =5 ... (vastavad read liidad = a, vastavaad veerud liida = b) xij 0 8. LP ülesande püstitus (kanoonilise kuju teisendamine standardseks ja vastupidi) Standardne kuju: z=c1x1 + ... + cnxn à max a11x1 + ... + a1nxn b1 ... am1x1 + ... + amnxn bm x0 Kasutades vektoreid c, b, x ja m*n-maatriksit A kirjutame ülesande vektorkujul: z = (c,x) à max Ax b, x0. Kanooniline kuju: z=(c,x) àmin Ax = b x0 Standardse ülesande teisendamisel kanooniliseks, lisandub igale reale üks mittenegatiivne muutuja, et võrdused oleksid õiged. Maksimumi miinimumiks saamisel korrutame rida läbi -1-ga.
Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x 1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete
annaabi.ee 
