korral sellest u¨mbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0. Kui eksisteerib piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x), siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim xa f(x)/ g(x) ja kehtib valem lim xa f(x)/ g(x)= lim xa f'(x)/ g'(x) T~oestus. Valime suvalise punkti x a teoreemi s~onastuses mainitud arvu a u¨mbrusest. Tekib kaks v~oimalust: 1. x > a. Siis Cauchy teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et f(x) - f(a) /g(x) - g(a)=f'(c) /g'(c) 2. x < a. J¨allegi, Cauchy teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (x,a) punkt c nii, et f(a) - f(x) /g(a) - g(x) = f'(c)/ g'(c) Kuna eelduse kohaselt f(a) = g(a) = 0, siis j¨areldub v~ordus f(x)/ g(x) = f'(c)/ g'(c) . Kui x a, siis c a, sest c paikneb x ja a vahel. J¨arelikult lim xa f(x) /g(x) = lim xa f'(c)/ g'(c) = lim ca f'(c)/ g'(c) Muudame avaldise paremal poolel asuva piirv¨a¨artuse lim ca f'(c)/ g'(c) t¨ahistust asendades seal muutuja c muutujaga x, st lim ca f'(c)/ g'(c) asemel kirjutame lim xa
Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nimetatakse funktsiooni f nivoojooneks. Nivoojoon s~oltub samuti konstandist C. Funktsiooni z = f (x, y) nivoojoon f (x, y) = C on kujutatud joonisel 6.2. Ta langeb kokku pinna z = f (x, y) ja tasandi z = C l~ oikejoone L projektsiooniga xy-tasandile. O z z = f (x, y)
jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.1. Edasi valime mingi 27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨ artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.01. Sellist arutelu v~oib j¨ atkata suvalise kuitahes v¨aikse raadiusega u ¨mbrusega (a - , a + ). J¨arelikult, iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨
jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.1. Edasi valime mingi 27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.01. Sellist arutelu v~oib j¨atkata suvalise kuitahes v¨aikse raadiusega u ¨mbrusega (a - , a + ). J¨arelikult, iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x
Vektorruumi nullvektori t¨ ahistamiseks kasutatakse ka arvu 0. Lugeja peab kontekstist m~ oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullvektoriga. Selguse huvides v~ oib kasutada ka t¨ahistust 0V . VI. Vektorruumid 3 2.2 N¨ aide: nullruum Nullruumiks nimetatakse vektorruumi O := {o}, milles on u ¨ksainus element - nullvektor o. Nullruumi t¨ ahistamiseks v~oib kasutada j¨allegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu- miks. Nullruume u ¨le erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks. 2.3 N¨ aide: korpused Iga korpus on vektorruum u ¨le iseenda. 2.4 N¨ aide: maatriksruumid Matk × n (K) on vektorruum u ¨le K. Arvutusoperatioonid defineeri- sime II. peat¨ ukis. 2.5 N¨ aide: aritmeetilised vektorruumid Aritmeetilised vektorid on u
annaabi.ee 
