dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega Cauchy ülesande lahendi. 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Eraldatud muutujatega võrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy =0, kus M=M(x) ja N=N(y) on teadaolevad ühemuutuja funktisoonid. Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy =0, Seega My=Nx=0. Kui ühelisidusas piirkonnas D funktsioonid M,N C(D), siis on meil tegemist eksaktse DV-ga. Sellist võrrandit nimetame eralduvate muutujatega DV-ks.
Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega Cauchy ülesande lahendi. 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Eraldatud muutujatega võrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy =0, kus M=M(x) ja N=N(y) on teadaolevad ühemuutuja funktisoonid. Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy =0, Seega My=Nx=0. Kui ühelisidusas piirkonnas D funktsioonid M,N ϵ C(D), siis on meil tegemist eksaktse DV-ga. Sellist võrrandit nimetame eralduvate muutujatega DV-ks.
=0 * 1/(u-g(u)du+1/x dx=0. /s.o.t.t * Oletame et M(tx,ty)=t (x,y) ja N(tx,ty)=t(x,y), siis M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 |:dx * M(x,y)+N(x,y)dy/dx=0 y'=-M(x,y)/N(x,y)* f(x,y)=-M(x,y)/N(x,y) on 0-astme homogeenne funktsioon, siis on DV y´=f(x,y) homogeenne-*M(tx,ty)/N(tx,ty)=-(tM(x,y))/tN(x,y)) PEAB VÕRDUMA M(x,y)/N(x,y) ehk =.7)Lineaarne DV A(x)y'+B(x)y+C(x)=0 esimest järku DV.* y'+B(x)/A(x)y=-C(x)/A(x), kui A(x)0* y'+p(x)y=q(x), algtingimusega y(Xo)=Yo * Lause: Olgu p(x) ja q(x) pidevad vahemikus (a,b) ning Xo(a,b).*siis leidub võrrandil y'+p(x)yq(x) parajasti üks lahend y=y(x), mis rahuldab tingimust y(Xo)=Yo *Tõestus: kasutame Cauchy teoreemi (f-pidev, f/y-pidev, (Xo,Yo)D)* y'=q(x)-p(x)y *kas f(x) on pidev?* 1) f(x)= q(x)- p(x)y lausest järeldub, et need on pidevad suurused!*2) x/y=/y[q(x)-p(x)y]=0-p(x)=-p(x) see on pidev!*3)
2.3Algolekud nullised ja mittenullised. Avage nende sisu.- Nullised algolekud- teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0 pole reaktsiooni väljundis üheselt määratud. Põhjuseks on süsteemi akumulatsiooni toima , mis on põhjustatud võimalikest protsessidest enne ajahteke t0. Sõltuvus ainult sisendsignaalist tekib vaid siis kui hetkel t0 süsteemisisene akumulatsioon puudub täielikult ,tegemist on sellisel juhul nullise algtingimusega. Mittenulline algtingimus-Kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega. 2.4Millistel tingimustel ja eeldustel on pidevaja süsteem esitatav ekvivalentse diskreetaja süsteemina? Eeldame ,et nii sisend kui ka väljundi muundurid toimivad sama taktiperioodiga T. Sel puhul toimib süsteemi U[k] ja Y[k] suhtes normaalse diskreetaja süstemina. Süsteemi omadustele avaldab olulist mõju diskreetse sisendsignaali pidevaks
parameetrite teadaolevad väärtused analüüsi alghetkel. Nullised algolekud, teatava sisendmuutuja rakendamisel süsteemi sisendisse hetkel t0, pole reaktsiooni väljundis üheselt määratud. Põhjuseks on süsteemi akumulatsiooni toime, mis on põhjustatud võimalikest protsessidest enne ajahteke t0. Sõltuvus ainult sisendsignaalist tekib, siis kui hetkel t0 süsteemisisene akumulatsioon puudub täielikult, sellisel juhul on tegemist nullise algtingimusega. Nulliste algtingimuste juures saab kasutada ülekandemudelit ja ülekandefunktsioon on siis süsteemi karakteristik. Nullistel algtingimustel ei ole teada mida süsteem enne teinud on. Mittenulline algtingimus – kui väljundmuutuja ühtib olekumuutujaga, saab mittenullist algolekut kirjeldada väljundmuutuja algväärtusega. Millistel tingimustel ja eeldustel on pidevaja süsteem esitatav ekvivalentse diskreetaja süsteemina?
0; 3) ei ole funktsioonil f(x,y) ei maksimumi ega miinimumi, kui 𝐴𝐵 − 𝐶 2 < 0 ; 4) küsimus jääb lahtiseks kui ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas 10. Cauchy ülesanne ehk algtingimusega ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesus. Peano teoreem. Cauchy 𝐴𝐵 − 𝐶 2 = 0 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 3
diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = C, kus II liiki joonintegraal on Funktsiooni f(x,y) nimetatakse pidevaks punktis Po(xo,yo), kui võetud üle mingi punkte (x0,y0) C D ja (x,y) C D ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega y0 = y(x0) Eksisteerib f(xo,yo) Cauchy ülesande lahendi. Eksisteerib lim(xxo, yyo) f(x,y) Kui sile joon : [a,b] R2 on antud parameetriliste võrranditega Lim (xxo, yyo) f(x,y) = f(xo,yo).
5 Esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetakse diferentsiaalvõr- randit kujul y = f (x, y), (8.1) kus otsitavaks on funktsioon y = y(x). Definitsioon 8.6 Ülesannet, milles otsitakse võrrandi y = f (x, y) (8.2) sellist lahendit y = y(x), mis rahuldab algtingimust y(a) = ya , (8.3) nimetatakse Cauchy ülesandeks (või ka algtingimusega ülesan- deks). 8.4 Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõr- randid Definitsioon 8.7 Esimest järku diferentsiaalvõrrandit (8.1) nimetatakse eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandiks, kui selle saab tundmatu y = y(x) suhtes kirjutada kujul g(y) dy = f (x) dx. (8.4) Ilma diferentsiaalideta on võrrand kujul g(y) y (x) = f (x).
annaabi.ee 
