alamruumiks. Need alamruumid on vastastikku Lühiajalise võla kattekordaja = käibevara/lühiajalised arusaamiseks piisavad finantsalased teadmised; ortogonaalsed. kohustused. 4) olulisuse printsiip raamatupidamise aruandes 20. Alamruumi meetodid Likviidsuskordaja = (käibevara-varud- ettemaksed)/ peab kajastuma kogu oluline informatsioon, mis Pisarenko harmooniliste dekompositsioon on likviidsed kohust. mõjutab raamatupidamiskohustuslase ajalooliselt esimene korrelatsioonimaatriksi finantsseisundit, majandustulemust ja rahavoogusid.
Eksami mõisted (35 punkti), igale küsimusele võivad lisanduda näited. I osa Algebra ja geomeetria (8 punkti) 1. Vektorruumi mõiste, omadused. 2. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8
Kuna iga B ⊂ X korral f −1 (B) = A ∩ B, siis Tf = { A ∩ B | B ∈ T }. Definitsioon 5.3 Topoloogilise ruumi X alamhulka A, vaadelduna topoloogilise ruumina u ¨lalkirjeldatud topoloogia Tf suhtes, nimetatakse ruumi X alamruumiks. Lahtisteks hulkadeks alamruumis A on parajasti ruumi X lahtiste hulkade u ¨hisosad alamhulgaga A. Kui ei ole ¨oeldud teisiti, siis topoloogilise ruumi alamhulki vaadeldakse topoloo- gilise ruumina alamruumi topoloogia suhtes. N¨aide 5.3 Nii k˜oigi t¨aisarvude hulk Z kui ka k˜oigi rat- sionaalarvude hulk Q on ruumi R alamruumid diskreetse topo- loogiaga. N¨ aide 5.4 L˜oik [a; b] on ruumi R alamruum, milles punkti au¨mbruste baasi moodustavad pooll˜oigud [a, a + [, kus ≤ b − a. N¨ ¨ aide 5.5 Uhem˜ o˜otmeline sf¨a¨ar S1 = { (x; y) | x2 + y 2 = 1 } = = { (cos t; sin t) | 0 ≤ t ≤ 2π }
projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk. Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks. Telglõgud näitavad, kus tasand lõikub koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit, siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes. Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0). II järku jooned. Ellips Def
10.2 N¨ aide Vektorruum V on iseenda alamruum. Nullruum {O}, mis koosneb vaid vektorruumi V nullvektorist 0, on V alamruum. Neid alam- ruume nimetatakse vektorruumi V triviaalseteks alamruumideks. K~oiki u ¨lej¨a¨anud alamruume (kui leiduvad) nimetatakse mittetri- viaalseteks. 10.3 N¨ aide Defineerime V K2 j¨ argmiselt: V := {(x, -x) K2 | x K} Kontrollime alamruumi tingimust. Olgu (a, -a), (b, -b) V , siis (a, -a) + (b, -b) = (a, -a) + (b, -b) = (a + b, -(a + b)) V , K Tulemus u oepoolest aritmeetilise vektorruumi K2 ¨tleb, et V on t~ alamruum. 10.4 N¨ aide: alamruume funktsioonide ruumis 1) Diferentseeruvad funktsioonid moodustavad alamruumi pi- devate funktsioonide ruumis. 2) Siledad funktsioonid moodustavad alamruumi diferentseeru-
Siit saame eeskirja omaväärtuste ja omavektorite leidmiseks: 1. omaväärtused t leiame võrdusest |A - tE| = 0 2. omaväärtusele t vastavate omavektorite koordinaadid x leitakse süsteemi (A-tE)x = 0 null-lahenditest erinevate lahenditena 39. Omaväärtuste ja omavektorite omadused (ainult loetleda). 1. t - maatriksi A (teisenduse A) omaväärtus Vt = { | V, L() = t()} => maatriksi A omaväärtusele t vastavate kõigi omavektorite hulk koos nullvektoriga moodustab alamruumi V t vaadeldavas vektorruumis V 2. t1, t2, ..., tn - erinevad omaväärtused maatriksile A 1, 2, ..., n - vastavad omavektorid vektorid 1, ..., n on lineaarselt sõltumatud 3. n = dimV; ARnxn; moodustame maatriksid: C - veeruvektorid 1, ..., n D - diagonaalmaatriks ti - dest Siis AC = CD 4. Sümmeetrilise maatriksi A erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid on omavahel risti (AT = A - sümmeetria) 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s~oltuvus ja s~oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv~orrandis¨ usteemid 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s˜oltuvus ja s˜oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv˜orrandis¨ usteemid 11
annaabi.ee 
