funktsioone: Funktsioone nimetatakse valikufunktsioonideks. Definitsioon 1.2. ([1], 10) Funktsioon on avaldatud funktsioonide ja kaudu asendusskeemi abil, kui . Definitsioon 1.3. ([1], 10) Funktsioon on avaldatud funktsioonide ja (konstandi ja funktsiooni ) kaudu lihtrekursiooniskeemi abil, kui juhul või Definitsioon 1.4. ([1], 22) Olgu funktsioon määratud hulga mingil alamhulgal ja olgu . Kirjutame ja ütleme, et funktsioon on avaldatud funktsiooni kaudu, rakendades argumendile -operaatorit, kui Funktsiooni võib arvutada järgmise algoritmi järgi: Arvutame järjestikku , , ................................................ Kui saame mingi arvu korral, , siis lõpetame ja väljastame . Definitsioon 1.5. ([1], 23) Funktsiooni nimetatakse osaliselt rekursiivseks (ORF), kui ta on
Tingimuse (ii) võib esitada temaga samaväärsel kujul (ii′) iga positiivse ε > 0 korral leidub selline x 0 ∈ X, et x0 < a + ε. Tõestada, et kui alamhulgas on suurim (vähim) element, siis see on hulga ülemine (alumine) raja (lause 1.4) Kui hulgas X eksisteerib suurim element, siis see on hulga X ülemine raja, s.t. supX = maxX. Analoogiliselt, kui minX eksisteerib, siis inf X = minX. Pidevuse aksioom. Nagu me eelpool veendusime , ei pruugi ülalt tõkestatud alamhulgal olla maksimaalset ega alt tõkestatud hulgal minimaalset elementi. Selge ei ole ka ülemise ja alumise raja olemasolu, seda ei ole aritmeetika ja järjestuse aksioomidest lähtudes võimalik tõestada. Seepärast eeldatakse (s.t. postuleeritakse), et reaalarvude hulgas R kehtib järgmine väide, mida nimetatakse pidevuse aksioomiks: (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊂ R leidub ülemine raja. Reaalarvude hulga seda omadust nimetatakse tema täielikkuseks.
8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, ...,am)= ={x=1a1+ 2a2 + ... + mam| 1, 2... m } nimetatakse vektorruumi V lineaarkatteks moodustajatega a1, a2, . . . , am. Lineaarkate L(a1, a2, . . . , am), kus a1, a2, . . . , am V, on vektorruumi V alamruum. Mingid näited: 1) Vektorruum V on iseenda alamruum.
Kui ruumi X sidusate komponentide arv on l˜oplik, siis on kerge veenduda, et iga sidususe komponent on ka lahtine hulk ruumis X. 8.2 Sidusad hulgad arvteljel Vaatleme reaalarvude hulka R tema loomuliku topoloogiaga ja leiame tema k˜oik sidusad alamhulgad. Seejuures kasu- tame reaalarvude hulga j¨argmist u ¨ldtuntud omadust (nn pi- devuse aksioomi): hulga R iga u ¨lalt t˜okestatud mittet¨ uhjal alamhulgal A leidub u ¨lemine raja sup A, st v¨ahim u ¨lemine t˜oke. Samuti leidub hulga R igal alt t˜okestatud mittet¨uhjal alamhulgal A alumine raja inf A, st suurim alumine t˜oke. Teoreem 8.39 L˜oigud [a; b], pooll˜ oigud [a; b[, ]a; b] ja vahemi- kud ]a; b[ (lubatud on ka l˜opmatud pooll˜ oigud ja vahemikud) on sidusad hulgad ruumis R. T˜oestus. Olgu A kas l˜oik, pooll˜oik v˜oi vahemik ruumis R.
Tingimuse (iv) võib esitada temaga samaväärsel kujul (iv′ ) iga positiivse ε ∈ F korral leidub selline x0 ∈ X, et x0 < b + ε. Definitsioon. Järjestatud korpust F nimetatakse täielikuks (complete, полное), kui ta rahuldab järgmist pidevuse aksioomi : (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊆ F leidub ülemine raja. Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkesta- tud alamhulgal. Lause 1.4 Täielikus järjestatud korpuses F leidub igal alt tõkestatud mittetühjal hulgal alu- mine raja. Tõestus. Iseseisvalt!z Järgmise lausega esitame edaspidiseks vajalikud arvutuseeskirjad supreemumi ning infii- mumi jaoks. Lause 1.5 Olgu X ja Y täieliku järjestatud korpuse F mittetühjad alamhulgad. (a) Kui X ja Y on ülalt tõkestatud, siis on ka hulk X + Y := {x + y | x ∈ X, y ∈ Y } ülalt tõkestatud ja sup (X + Y ) = sup X + sup Y
1. Klõpsake vasakpoolses loendis väärtust Ülemine või Alumine. 2. Sisestage keskmisele väljale arv. 3. Parempoolsel väljal tehke ühte järgmistest. Arvu alusel filtreerimiseks klõpsake käsku Üksused. Protsendi alusel filtreerimiseks klõpsake käsku Protsent. Suurimad ja vähimad väärtused põhinevad algsel lahtrivahemikul või tabeliveerul, mitte filtreeritud andmete alamhulgal. Arvude keskväärtusest suuremate või väiksemate arvude filtreerimine 1. Valige arvandmeid sisaldav lahtrivahemik. 2. Klõpsake menüü Kodu jaotise Redigeerimine nuppu Sordi ja filtreeri ning seejärel käsku Filtreeri. 3. Klõpsake veerupäises noolt . 4. Valige Arvufiltrid ja tehke ühte või mitut järgmistest. o Kui soovite filtreerida keskväärtusest suuremate arvude alusel, klõpsake käsku Keskmisest suuremad.
annaabi.ee 
