3 - 2i ±(3 - 2i)2 - 4(5 - i) x= 2 3 - 2i ± 9 - 12i + 4i2 - 20 + 4i = 2 3 - 2i ± -15 - 8i 3 - 2i ± (1 - 4i) = = 2 2 Siin kasutasime ruutjuure -15 - 8i v¨ a¨artusi n¨ aitest 10.3. N¨ uu¨d saame 3 - 2i + (1 - 4i) 4 - 6i x1 = = = 2 - 3i 2 2 V. Kompleksarvud 15 3 - 2i - (1 - 4i) 3 - 2i - 1 + 4i 2 + 2i x2 = = = =1+i 2 2 2 Kontrollime esimest juurt. Arvutame
oigul Olgu funktsioon y = f (x) pidev l~oigul [a; b]. Suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmine tugineb kahel faktil. 1. L~oigul pidev funktsioon omab suurimat ja v¨ahimat v¨a¨artust sellel l~oigul. 2. L~oigul pidev funktsioon omandab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse kas krii- tilises punktis (st punktis, kus funktsioonil v~oib olla lokaalne ekstreemum) v~oi l~oigu otspunktis. Nendest kahest v¨aitest tuleneb eeskiri funktsiooni y = f (x) suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse leidmiseks l~oigul [a; b]. 1. Leiame funktsiooni y = f (x) l~oiku [a; b] kuuluvad kriitilised punktid x1 , x2 , . . .. ja arvutame nendes funktsiooni v¨a¨artused f (x1 ), f (x2 ), . . .. 2. Arvutame funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides f (a) ja f (b). 3. Leitud v¨a¨artuste hulgast valime suurima ymax ja v¨ahima ymin . 19 N¨aide
lahtine kujutus. 4.2 Kujutuse piirv¨ a¨ artus Vaatleme kujutust f : X −→ Y . Olgu a ∈ X ja b ∈ Y . Definitsioon 4.4 Elementi b nimetatakse kujutuse f piirv¨artuseks protsessis x → a (”x l¨aheneb a-le”) ja t¨ahis- a¨ tatakse lim f (x) = b, x→a kui punkti b iga u ¨mbruse V jaoks leidub punkti a selline ¨mbrus U , et f (U {a}) ⊂ V . u J¨argnevast n¨aitest selgub, et piirv¨a¨artus ei ole u ¨heselt m¨a¨a- ratud. N¨ aide 4.7 Vaatleme hulka Y = R ∪ {01 }, mis on saadud reaalarvude hulgale R t¨aiendava elemendi 01 (teine null) lisa- misel (01 ∈ R). Topoloogia hulgal Y anname u ¨mbruste abil: kui y ∈ R, siis punkti y u ¨mbrusteks loeme tema u ¨mbrused ruumi R loomulikus topoloogias; punkti 01 u¨mbrusteks loeme
Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5 v¨ aitest 2, et y = f (x) oleks kumer argumendi x1 u ¨mbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega, et x = x1 korral asendub n~ogusus kumerusega. J¨a¨avad u ¨le vaid kaks v~oimalust: kas 1) f (x1 ) = 0 v~oi 2) l~oplik teist j¨arku tuletis f (x1 ) puudub. Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral teist j¨arku tuletis v~ordub nulliga v~ oi l~oplik teist j¨arku tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni teist j¨
Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5 v¨aitest 2, et y = f (x) oleks kumer argumendi x1 u ¨mbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega, et x = x1 korral asendub n~ogusus kumerusega. J¨a¨avad u ¨le vaid kaks v~oimalust: kas 1) f (x1 ) = 0 v~oi 2) l~oplik teist j¨arku tuletis f (x1 ) puudub. Funktsiooni argumendi v¨a¨artusi, mille korral teist j¨arku tuletis v~ordub nulliga v~oi l~oplik teist j¨arku tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni teist j¨
annaabi.ee 
