Kui N = max { C1, C2}, siis Võime valida iga n N korral xn [a, b], nii et - 1/n f(xn) . Kuna xn [a, b], siis jada n > C xn U(a) {xn} on tõkestatud. Tõkestatust jadast saame eraldada punktis koonduva osajada {xnj}. Minnes n > C xn U(b) võrratustes - 1/nj f(xnj) piirile, saame = f() = supx[a,b]f(x). Seega ülemine raja Saame vastuolu kuna vastavalt eeldusele U(a) U(b) = . (null /-ga) saavutatakse. Analoogselt saavutatakse ka alumine rada:
kujunemist: n = xij + zj = xj i=1 kus: zj j-nda haru lisatud väärtus, xj j-nda haru kogutoodang. Harudevaheline maatriksbilanss näeb välja järgmine: haru 1 j n lõpptoodang kogutoodang 1 x11 x1j x1n y1 x1 i xi1 xij xin yi xi n xn1 xnj xnn yn xn yi = lisatud väärtus z1 zj zn i - = zj j 2 xi =
x ∈ [a,b] x ∈ [a,b] Tõestus: Olgu f(x) ∈ C[a,b]. Kuna pidev funktsioon on tõkestatud, siis pidevuse aksioomi põhjal leiduvad rajad inf f(x) = M sup f(x) = M¯. x∈[a,b] x∈[a,b] Võime valida iga n∈N korral xn ∈ [a,b], nii et M¯ − 1/ n ≤ f(xn) ≤ M¯. Kuna xn ∈ [a,b], siis jada{xn}on tõkestatud. Tõkestatud jadast saame eraldada punktiks β koonduva osajada{xnj}. Minnes võrratustes M¯ − 1 / nj ≤ f(xnj) ≤ M¯ piirile, saame M¯ = f(β) = sup f(x). x ∈[a,b] Seega ülemine raja saavutatakse. (Analoogilselt näitame, et saavutatakse ka alumine raja.) 19 Näidata, et funktsioonil f(x) leidub tuletis punktis a parajasti siis, kui punkti a ümbruses f(x) on esitatav kujul (siin A = f' (a)) f(x) = f(a) + A(x−a) +o(x−a), kus lim o(x−a) / x−a = 0.
~ aksioomi pohjal leiduvad rajad inf f (x) = M sup f (x) = M. x[a,b] x[a,b] ~ Voime valida iga n N korral xn [a, b], nii et M - n1 f (xn ) M. Kuna xn [a, b], siis jada {xn } on tokestatud. ~ ~ Tokestatud jadast saame eraldada punktiks koonduva osajada {xnj }. Minnes vorratustes ~ M - n1j f (xnj ) M piirile, saame M = f () = sup f (x). Seega x[a,b] ulemine ¨ ¨ raja saavutatakse. Analoogilselt naitame, et saavutatakse ka alumine raja. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
annaabi.ee 
