Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] ⊆ R, kui ta on pidev vahemiku (a, b) igas Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist poolloiku [a, a + ε), kus ε > 0. punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja vasakult pidev loigu otspunktis b. Tahistatakse f(x) ∈ Arv x kuulub arvu a parempoolsesse umbrusesse [a, a + ε) parajasti siis, kui selle arvu kaugus C[a, b]. Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. arveljel on arvust a vaiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x > a
Seega on kahe reaalarvu x1 , x2 R vaheline kaugus leitav kujul d(x1 , x2 ) = |x2 - x1 | ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 11 / 25 Reaalarvud ¨ Umbrused ¨ Umbrused Definitsioon Hulka U (a) := {x V |d(a, x) < , > 0} nimetatakse punkti a V -umbruseks. ¨ Reaalarvu a R korral saame U (a) = {x R|a - < x < a + }. Definitsioon Reaalarvu a vasakpoolseks umbruseks ¨ ~ nimetatakse suvalist poolloiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse umbrusesse ¨ (a - , a] parajasti ¨
nevad kui tahes v¨ ahe arvust 1. Kui me u ¨ritame N¨ aites 1 esitatud probleemi matemaatiselt korrektselt esitada, siis tekib esiteks k¨usimus, kuidas kirjeldada korrektselt "suuruse piiramatut kasvamist" ja "jada liikmete l¨ ahenemist mingile arvule." Teiseks tekib k¨ usimus, kuidas korrektselt siduda neid kaht m~ oistet N¨aites 1 k¨ asitletud probleemi kirjeldamisel. Definitsioon 2. Kui > 0, siis arvu a -¨ umbruseks (epsilon-¨ umbruseks) nimetatakse vahemikku (a- , a + ) ja t¨ ahistatakse l¨uhidalt U (a). Definitsioon 3. Suuruse + M -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (M, +) ja t¨ahistatakse UM (+). Definitsioon 4. Suuruse - M -¨ umbruseks nimetatakse vahemikku (-, M ) ja t¨ahistatakse UM (-). Definitsioon 5. Kui M > 0, siis suuruse M -¨ umbruseks nimetatakse u ¨hendit (-, -M ) (M, +) ja t¨ ahistatakse UM (). NB
¨htegi rajapunkti. Edaspidi kujutame joonistel kinnise piirkonna rajajoont pideva joonega ja lahtise piirkonna rajajoont katkendliku joonega. Joonis 6.1. Kinnine ja lahtine ring Punkti u ¨mbruseks tasandil nimetatakse suvalise raadiusega lahtist ringi, mille keskpunktiks on punkt ise. Kui > 0 on suvaline reaalarv, siis punkti (x0 , y0 ) -¨ umbruseks on lahtine ring U (x0 , y0 ) = {(x, y)| (x - x0 )2 + (y - y0 )2 < 2 }. Reaalarvude kolmikute (x, y, z) ja ruumi punktide hulga vahel on korral- datav u¨ks¨ uhene vastavus. Ruumiliseks piirkonnaks on kogu ruumi alamhulk. Ruumilist piirkonna eraldab kogu ruumist mingisugune pind, mida ni- metatakse piirkonna rajapinnaks ehk rajaks. Rajapinna punkte nimetatakse piirkonna rajapunktideks ja rajapinnal mittte asuvaid punkte piirkonna si- sepunktideks.
annaabi.ee 
