2. Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub väljaspool tema määramispiirkonda. See oli nii eespooltoodud näites. Funktsiooni piirvaartuse definitsiooni laiendamine() juhtudele a = ± ja b = ±. ( Analoogiliselt saab käsitleda() ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused - v~oi . Selleks tuleb ülaltoodud() definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega või -. Funktsiooni uhepoolsete piirvaartuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. ( ) Funktsioonil on vasakpoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(-), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b. lim/x a(-)/f(x) = b Funktsioonil on parempoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(+), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b. lim/x a(-)/f(x) = b
a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse xa v~oi lim x = a . Piirv¨a¨ artuse u¨ldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- malt v~oi m~olemalt poolt) muutuja x l¨ahenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨aheneb arvule a ¨ ainult vasakult v~oi paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame u ¨ldisest piirv¨a¨ artuse definitsioonist, kui me seal esineva u ¨mbruse (a-, a+) kit- sendame kas vasakpoolseks v~oi parempoolseks u ¨mbruseks (a - , a] v~oi [a, a + ). Muutuv suurus x l¨aheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes v¨aikese posi- tiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik
a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse xa v~oi lim x = a . Piirv¨a¨artuse u¨ldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- malt v~oi m~olemalt poolt) muutuja x l¨ahenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨aheneb arvule a ¨ ainult vasakult v~oi paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame u ¨ldisest piirv¨a¨artuse definitsioonist, kui me seal esineva u ¨mbruse (a-, a+) kit- sendame kas vasakpoolseks v~oi parempoolseks u ¨mbruseks (a - , a] v~oi [a, a + ). Muutuv suurus x l¨aheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes v¨aikese posi- tiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik
y = b2 - y = b1 + b1 y = b1 - a x x) f( = y ¨ Joonis 1.2: Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused ¨ Uhepoolsete piirv¨a¨artuste erinevusest j¨areldub, et ei ole olemas piirv¨a¨atrust |x| lim . x0 x 1 1 N¨ aide 3.2. Leiame lim arctan ja lim arctan . x0- x x0+ x 1 Kui x 0-, siis -, seega x 1
annaabi.ee 
