on osapiirkonna si mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n ja osapiirkondade si suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D. 3. Muutujate vahetus kahekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles D D' valemis determinant I on funktsioonide (u, v) ja (u, v) nn. x x Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: u v . Üleminek
Kui f(x,y)s=F(u,v)s, siis f(x,y)sF(u,v)Js', kus paremal olev integraalsumma on võetud üle piirkonna D'. Minnes piirile eeldusel, et diams'0, saame täpse võrduse (21.4.): J See valem (21.4.) võimaldab kahekordse integraali arvutamist üle piirkonna D taandada integraali arvutamise üle piirkonna D', mis võib osutuda lihtsamaks ülesandeks. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on erijuhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u=r ja v=: Arvutame ristkoordinaatide x-i ja y-i polaarkoordinaatideks r ja teisendamise jakobiaani: J Järelikult . Üleminekut polaarkoordinaatidele on mõistlik kasutada juhtudel, kus funktsioon f(x,y) on kujul f(x 2+y2) või piirkond D on ring või selle teatud osa. 5
3) kui integreerimispiirkond D on regulaarne, siis on kaksikintegraalid võrdsed ja integreerimisjärjelord määratakse vastavalt integreerimispiirkonna kujule nii, et arvutisi oleks võimalikult vähe ja nad oleksid võimalikult lihtsad. 4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv
x 2 + y 2 + z 2 = a2 + b2 . 13 Valemi (5.14) j¨argi saame kruvijoone esimese keerme pikkuseks 2 s= a2 + b2 dt = 2 a2 + b2 . 0 Olgu joone kaareks polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni = () graafik, kui [; ]. Asendades ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele u ¨lemineku valemites (5.6) muutuja tema avaldisega kaudu, saame joone parameetrilised v~orrandid x = () cos y = () sin , kus parameetriks on polaarnurk . Kaare pikkuse valemi tuletamiseks kasutame valemit (5.13). Selleks leia- me x = () cos - () sin ja y = () sin + () cos ning x 2 + y 2 = 2 () cos2 - 2 () cos () sin + 2 () sin2 + 2
annaabi.ee 
