t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x, x 0 mx
Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨hisosa. Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks
Kui hulk X cl(A) oleks mittet¨ uhi, siis peaks ta baasi definitsiooni kohaselt avalduma u¨hendina teatavatest baasi B kuuluvatest hulkadest. See on aga v˜orduse (3.2) t˜ottu v˜oimatu. J¨arelikult X cl(A) = ∅, X = cl(A) ja X on separaabel. 3.3 Hulga raja Definitsioon 3.7 Topoloogilise ruumi X alamhulga A ra- japunktiks nimetatakse sellist punkti ruumist X, mille igas u ¨mbruses leidub nii hulga A punkte kui ka hulka A mitte- kuuluvaid punkte. Hulga A k˜oigi rajapunktide hulka t¨ahistatakse ∂A. N¨aide 3.6 L˜oigu [a; b] ⊂ R rajapunktideks on parajasti a ja b. N¨ aide 3.7 Topoloogilise ruumi X rajapunktide hulk on t¨ uhi. Teoreem 3.15 ∂A = cl(A) int(A). T˜oestus. Olgu A topoloogilise ruumi X suvaline alamhulk. Kui x ∈ cl(A) int(A), siis x ∈ cl(A) ja x ∈ int(A) ning sulundi ja sisemuse definitsiooni kohaselt punkti x iga u ¨mbrus
.., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a < x < b} D = {a, b} D hulk D on lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine
annaabi.ee 
