puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata pinna osadeks jaotamise viisist ning pt-de Pi valikust, siis nim seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks e pindint. pindala järgi üle Ω ja tähistatakse: ʃʃΩfdS=ʃʃΩf(x,y,z)dS Kui pind asub xy-tasandil, siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral). Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindintegraal üle pinna Ω. OMADUSED: Omadused on kaekordse integraaliga samad - aditiivne, lineaarne ja monotoonne.
.., n nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Qi i i = 1,..., n . Def. Kui sõltumata pinna alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Qi )S ( i ) = I , kus = max d ( i ) , 0 1 i n i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks pindala järgi) üle pinna . Tähistus: fdS , f (P )dS , f (x, y, z )dS Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on esimest liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega. Teoreem 10. Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal : z = z ( x, y ) (x, y ) D = pr xy , siis f (x, y, z )dS = f (x, y, z (x, y ))
ndat tükki kui i-nda tüki pindala. Valime igal tükil Si ühe punkti Pi . Moodustame summa Olgu integraalsumma n = (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn= (Pi) Si See funktsioon f(P) on integraalsumma pinnal S. Olgu di tüki diameeter. Tähistame n -ga maksimaalselt arvudest d1, d2,...dn. Muudame pinna S tükeldust järjest peenemaks nee, et n 0 . On integraalsumma n piirväärtust taolises piirprotsessis nim funktsiooni esimest liiki pindintegraaliks üle pinna S ja tähistatakse (P)ds n Seega definitsiooni kohaselt (P)ds = lim n = lim (Pi) Si s n 0 n 0 i=1 30. Esimest liiki pindintegraali rakendusi. 1. Esimest liiki joonintegraali kasutades saab arvutada joone L pikkuse. Tõepoolest, kuna Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa
i pindala. Olgu pinnal antud funktsioon fP f x, y, z Moodustame integraalsumma n f Pi Si, i 1 kus P i i. Olgu i osapiirkonna i diameeter. Definitsioon. Kui sellel summal on max i 0 korral olemas piirväärtus sõltumata pinna osadeks jaotamise viisist ega punktide P i valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks ehk pindintegraaliks pindala järgi üle ja tähistatakse fdS f x, y, z dS. Seega n fdS lim max 0 f Pi Si i 1 Kui pind asub xy-tasandil ja f R 3 , siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. Sama on ka siis, kui pind asub yz- või xz-tasandil.
annaabi.ee 
