Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . .
. . , ak } olgu V moodustajate s¨ usteem. Siis n k. T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et n > k. Siis peaks vekto- ris¨ usteem {b1 , . . . , bn } fundamentaallemma 6.1 p~ ohjal olema li- neaarselt s~ oltuv, mis on vastuolus eeldusega. 18 V. Vektorruumid 6.3 Teoreem vektorite arvust baasides Teoreem 22. L~ oplikum~ o~otmelise vektorruumi k~ oikides baasides on u ¨hepalju vektoreid. T~ oestus. Olgu A = {a1 , . . . , ak } ja B = {b1 , . . . , bn } l~ oplikum~ oo~t- melise vektorruumi V baasid. Peame n¨ aitama, et k = n. Paneme t¨ahele, et B = {b1 , . . . , bn } on lineaarselt s~
jargmised tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = 2 u V , R u = || u 3 u, v V u+v u + v Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0 |x| := -x, x < 0 n-mo~ otmelise ~ ruuumi Rn vektori x = (x1 , . . . , xn ) normi x 2 ehk vektori ~ pikkuse voime defineerida kujul |x| := x 2 = x12 + . . . + xn2 ~ Vottes n = 1 saame absoluutva¨ artuse ¨ esitada kujul |x| = x 2 = x 2. ¨ G
gad b−a {[a]}∪]a; a + [∪]b − ; b[, kus 0 < < . 2 ¨ Uleminekut l˜oigult X = [a; b] faktorhulgale X ∗ v˜oib piltlikult illustreerida j¨argmiselt: l˜oik [a; b] on painutatud ringjooneks, kleepides otspunktid a ja b kokku. T¨apsemalt ¨oeldes, faktor- ruum X ∗ on hom¨oomorfne u ¨hem˜o˜otmelise sf¨a¨ariga S1 . Ruu- mide X ∗ ja S1 hom¨oomorfsus X ∗ ≈ S1 saavutatakse hom¨oo- morfismiga g : X ∗ −→ S1 , kus 2π(x − a) 2π(x − a) g([x]) = ( cos ; sin ). b−a b−a N¨aide 5.9 Defineerime kujutuse f : Sn −→ B(θ; 1) n- m˜o˜otmelisest sf¨a¨arist n n S = { (x0 ; x1 ; . .
annaabi.ee 
