Erijuht on x,y tasandil. Nt y=f(x) axb f(x)C(a,b). Siis võime x võtta parameetriks: Järeldus: Kui meil on y=f(x) sile joon x,y-tasandil, siis selle joone pikkus on välja arvutatav sellise valemiga: N. y=chx (0x2) s-? N. Kui joon on antud polaarkordinaatides =() [] Siin on kasulik teisendada parameetrilisele kujule ja parameetriks võtta : Lause2. Kui sile joon on antud nii: =() (), siis tema pikkus s on arvutatav nii: 2.18. Pöördkehade ruumalate arvutamine i-nda osakaare pöörlemisel tekkinud püstsilinder: Saame lähisväärtuse meid huvitava pöördkeha ruumala jaoks: Lause1. Kui meil on lõigul (a,b) antud pidev funktsioon y=f(x), mis on pidev sellel lõigul, siis kaare pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala avaldub selliselt: Kui aga sirge võrrand on antud meile parameetrilisel kujul, näitkes nii: Külgpindala Tingimustel, et joon on sile ja pidev lõigul [a,b] saame integraalsumma:
joone pikkus; silinderpinna pindala; joone mass. Olgu antud ruumiline kõverjoon l otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kolme muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk osakaare pikkuseks (x=1,2,...,n) ning 2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti 3. Edasi moodustame korrutised (k=1,2,...,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide siis seda piirväärtust nim
piirprotsessis nim funktsiooni esimest liiki pindintegraaliks üle pinna S ja tähistatakse (P)ds n Seega definitsiooni kohaselt (P)ds = lim n = lim (Pi) Si s n 0 n 0 i=1 30. Esimest liiki pindintegraali rakendusi. 1. Esimest liiki joonintegraali kasutades saab arvutada joone L pikkuse. Tõepoolest, kuna Li on osakaare Mi-1Mi pikkus, siis kaarte pikkuste summa n ln = / Li võrdub joone L pikkusega. i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus.
NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraali olemasolu. Tõestus. Jagame joone AB n osakaareks punktidega A = P0 , P1 , P2 ,..., Pn = B , kus Pi = ( x(t i ), y (t i )) . Eeldame, et parameeter t kasvab, kui liigume suunas AB , st. t 0 = (vastasel korral t 0 = ). ti [x(t )] + [y (t )] dt . 2 2 Osakaare Pi -1 Pi pikkus si = ti -1 Kuna joon AB on sile, siis x (t ) ja y (t ) on pidevad. Seega [x(t )]2 + [ y(t )]2 on samuti pidev piirkonnas [t i -1 , t i ]. Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi igas osalõigus [t i -1 , t i ], mille kohaselt leiduvad punktid i [t i -1 , t i ] nii, et
x) f( = y A x k Joonis 7.1. Joone AB jaotamine osakaarteks Osakaare Pk-1 Pk pikkust t¨ahistame sk . Edasi moodustame korrutised f (Qk )sk , kus k = 1, 2, . . . , n ja leiame summa n sn = f (Qk )sk (7.1) k=1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f (x, y) integraalsummaks u ¨le joone AB. Joone AB jaotus punktidega P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn on su- valine
annaabi.ee 
