f(x) - f(x1)/ x - x1 0. See v~orratus j¨a¨ab kehtima ka siis, kui me v~otame temast piirv¨a¨artuse protsessis x x1. Seega tuletise definitsiooni p~ohjal F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus
J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse (3.21) positiivse arvuga x - x1 saame f (x) - f (x1 ) 0. x - x1 V~otame piirv¨a¨ artuse: f (x) - f (x1 ) f (x1 ) = lim 0. (3.23) xx1 x - x1 V~orratused (3.22) ja (3.23) n¨aitavad, et f (x1 ) 0 ja f (x1 ) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f (x1 ) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1 -s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1 -s on lokaalne miinimum. 3.9 Keskv¨ a¨ artusteoreemid. Teoreem 3.4 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f on l~ oigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a, b) v¨
J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse (3.21) positiivse arvuga x - x1 saame f (x) - f (x1 ) 0. x - x1 V~otame piirv¨a¨artuse: f (x) - f (x1 ) f (x1 ) = lim 0. (3.23) xx1 x - x1 V~orratused (3.22) ja (3.23) n¨aitavad, et f (x1 ) 0 ja f (x1 ) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f (x1 ) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1 -s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1 -s on lokaalne miinimum. 3.9 Keskv¨ a¨ artusteoreemid. Teoreem 3.4 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f on l~ oigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a, b) v¨
SD = [2 (x) - 1 (x)]dx. a Omadus 3. Kui funktsioon f (x, y) on pidev regulaarses piirkonnas D, siis eksisteerib selline P (, ) D, et ID = f (, )SD (7.6) T~oestus. T~okestatud kinnise piirkonnas pidev funktsioon f (x, y) omab v¨ahimat ja suurimat v¨a¨artust m ja M selles piirkonnas. Seega kehtib omaduse 2 v¨aide. Jagades v~orratused (7.5) piirkonna D pindalaga, saame 1 m ID M. SD Piirkonnas pidev funktsioon omab k~oiki v¨a¨artusi v¨ahima ja suurima vahel, 1 sh ka v¨a¨artust ID . Seega, eksisteerib punkt P (, ) D, milles f (, ) = SD 1 ID . Korrutades viimase v~orduse uuesti piirkonna D pindalaga SD , saame SD (7.6). Teoreem
annaabi.ee 
