|AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk- tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|. Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide v~orranditest moodustatud s¨ usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6.2) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨ (x1 , x2 , . . . , xm )
. . + ain ( Ajn ) = |A| |A| |A| 1 = (ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn ) = |A| 1 = (|A|ij ) = ij = dij = ij , i, j Nn . |A| Siin me kasutasme determinantide teooria p~ohivalemit (6.5). Saime AA-1 = (dij ) = (ij ) = E = AA-1 = E. Seega konstrueeritud maatriks A-1 rahuldab v~orranditest (6.1) esimest. Lugeja hooleks j¨atame kontrollida, et maatriks A-1 rahuldab ka v~orrandit 45 AX = E. Seega oleme t~oestanud, et maatriks (6.7) on maatriksi p¨o¨ord- maatriks. Teeme n¨uu ¨d veel m~oned j¨areldused p¨o¨ ordmaatriksi kohta. Omadus 6.4. Regulaarsete n-j¨ arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B -1 A-1 .
|A| |A| |A| 1 = (ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + . . . + ain Ajn ) = |A| 1 = (|A|δij ) = δij =⇒ dij = δij , ∀ i, j ∈ Nn . |A| Siin me kasutasme determinantide teooria p˜ohivalemit (6.5). Saime AA−1 = (dij ) = (δij ) = E =⇒ AA−1 = E. Seega konstrueeritud maatriks A−1 rahuldab v˜orranditest (6.1) esimest. Lugeja hooleks j¨atame kontrollida, et maatriks A−1 rahuldab ka v˜orrandit 45 AX = E. Seega oleme t˜oestanud, et maatriks (6.7) on maatriksi p¨o¨ord- maatriks. ♠ Teeme n¨uu ¨d veel m˜oned j¨areldused p¨o¨ ordmaatriksi kohta. Omadus 6.4. Regulaarsete n-j¨ arku maatriksite A ja B korral kehtib valem
a = x() ja b = x(). (5.4) Kirjutame k~overttrapetsi pindala (5.1) integraalina b SabBA = ydx a 4 ja l¨aheme selles integraalis u ¨le muutujale t. Muutuja y on parameetrilistest v~orranditest asendatav, muutja x diferentsiaal dx = xdt ja rajad muutuja t jaoks saame v~orranditest (5.4). Asendades saame, et antud juhul on k~overt- rapetsi abBA pindala arvutatav valemist SabBA = y xdt. (5.5) y
A = (A + AT ) + (A - AT ) 2 2 s¨ ummeetriline antis¨ ummeetriline koos lausega 11 u ¨ ¨tleb, et selline esitus (avaldis) leidub. Uhesuse n¨aitamiseks oletame, et A = B + C, kus B on s¨ ummeetriline ja C antis¨ummeetriline maatriks. Siis ilmselt AT = B T + C T = B - C. V~orranditest A =B+C AT = B - C j¨areldub, et B = 21 (A + AT ) ja C = 12 (A - AT ). 5 Po ¨o¨rdmaatriks, selle omadusi ja arvutamine 5.1 Po ¨o ¨rdmaatriks Ruutmaatriksi A p¨o¨ ordmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = I = BA. Lause 13 (p¨ o¨ordmaatriksi ainsus). Kui maatriksil on olemas p¨ o¨ordmaatriks, siis on ta m¨
annaabi.ee 
