Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Gabriel Cramer (1704-1752) Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Eeldused: 1 LVS-i tundmatute arv = v˜ orrandite arv 2 ∆ = 0, kus ∆ on determinant, Gabriel Cramer mis koosneb LVS-i tundmatute kordajatest. (1704-1752) Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil Eeldused: 1 LVS-i tundmatute arv = v˜ orrandite arv
tav astmetrida f () koondub maatriksi A iga omav¨ a¨artuse kor- ral. Teoreem 21. Kui f (A) koondub ning on A omav¨ a¨artus, siis f () on maatriksi f (A) omav¨ a¨artus. II. Maatriksarvutus 21 8 ¨ Ulesandeid 8.1 ¨ Ulesanne Lahendada lineaarne maatriksv~orrandite s¨ usteem ja kontrollida la- hendit. 0 1 X + Y = -1 0 0 -2 2X + 3Y = 2 0 8.2 ¨ Ulesanne Lihtsustada avaldised A(3B - C) + (A - 2B)C + 2B(C + 3A) = · · · = 3AB + 5BA A(BC - CD) - A(B - C)D + AB(D - C) = · · · = 0
s¨ usteemi (6.64) lahend (x, y) rahuldaks ekstreemum¨ ulesandes n~outud tingimust (x, y) = 0. Seega tuleb (6.64) lahendite hulgast v¨alja selekteerida eelk~oige sel- lised mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. M¨argime et s¨ usteem (6.64) sisaldab 3 tundmatut x, y ja kuid ainult 2 v~orrandit. Lisatundmatu v~oimaldab meil t¨aiendada s¨ usteemi (6.64) kolmanda v~orrandiga (x, y) = 0 viies sellega tund- matute ja v~orrandite arvud omavahel v~ordseks. Saame j¨argmise s¨ usteemi: fx (x, y) + x (x, y) = 0 fy (x, y) + y (x, y) = 0 (6.65) (x, y) = 0 . Tingimusliku ekstreemum¨ ulesande lahendi leidmiseks lahendataksegi 3×3 v~orrandis¨ usteem (6.65). Siiski v~oib ka (6
saame X = E, s.o. E -1 = E. Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )-1 = (A-1 ) . T~oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist~ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A-1 ja (A )-1 . T~oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A-1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A-1 ) on v~orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks. T~oepoolest on see nii, sest A (A-1 ) = (A-1 A) = E =E ja (A-1 ) A = (AA-1 ) = E = E. Siin me kasutasime valemit (1.29). 47
o. E −1 = E. ♠ Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )−1 = (A−1 ) . T˜oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist˜ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A−1 ja (A )−1 . T˜oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A−1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A−1 ) on v˜orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks. T˜oepoolest on see nii, sest A (A−1 ) = (A−1 A) = E =E ja (A−1 ) A = (AA−1 ) = E = E. Siin me kasutasime valemit (1.29). 47
annaabi.ee 
